“数形结合”在小学是可能的

　　数学要研究的东西，基本上是数量关系和空间形式。当然，发展到今天，还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式，甚至于一般关系的形式和一般形式的关系，等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系，是值得研究的问题。

　　提到数形结合，往往觉得是解析几何的事情。其实，数和形的联系，几乎处处都有。

　　在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形，而且还需要推理，推理就要使用语言，所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学几何的时候就讲几何，缺少把两者联系起来的意识。

　　例如，有一套教材开始就让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西，这是教材的优点。但是，如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

　　在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候，就要学生用“1”来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子?如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说，这样不行，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的例子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习“2”的时候，我们可以教学生说：“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什‘么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后来学儿何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有3条边、3个顶点”；学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“|f方形有4条边、4个顶点”；学“5”的时候，可以画个五角星；认识“10”的时候，除了10个指头，不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段(图1)；学到100以内的数，就可以告诉学生正方形的角是90度，等等。小孩子记忆力好，早点记一 些东西，以后再慢慢理解。

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2010-12-26 18:55

　　在中国古代的私塾里，学生入学后往往先让他们背几个月，甚至一年，然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式，但是也并非没有可取之处。学生已经会背了，再讲的时候，他印象就非常深刻了。我们讲建构主义，先要有信息进去才能建构，一个人闭目塞听，不和外界接触，是很难建构出东西来的。

　　总之，几何语言的早期渗透可不可能，值得研究。

　　形与数的结合，还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美，美国数学教育家克莱因有过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段，可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子，这里有一些美丽的图案(图2)： 你能想到，这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

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　　这条曲线其实很简单，如图3，用“超级画板”※软件画一个圆，圆上取3点a、b、 c，在弦ab上取点g，再在线段cg上取点h，利用软件的轨迹作图功能，作出3点a、b、c在圆周上运动时点h的轨迹，并把3点运动速度的比值分别设置为 K、M、N的整数部分，做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点g、h的位置，就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件，让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中，数学之美会渗入幼小的心灵。

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　　一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件，孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天，就不想上网打游戏了。不到一个星期，就对超级画板上了瘾，很快学会了从屏幕上截取图片，把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。数形结合的思想，不仅是上面这些简单的例子，下面还会谈到。

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[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-26 18:55 编辑 ].

　　寓理于算的思想容易被忽视

　　小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。

　　中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。

　　数学活动中的画图和推理，归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理，本来是计算；到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。有的人认为几何推理很难，学几何一定要先学实验几何。其实，实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理，后期学会推理时也需要实验。所谓实验，无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题，实际上二就是通过一个算式证出来的，这里的推理证明就是汁算。

　　要把计算提升为推理，就要用一般的文字代替特殊的数字，再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候，不妨告诉学生，这个公式可以用字母表示成m=c×k。这里用了面积、长、宽的汉语拼音，学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。

　　为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形A边上的高为H，而B边上的高为G，根据三角形面积公式，就知道A×H=B×G；如果A=B，则H=G。这就推出了一条规律：如果三角形的两条边相等，则此两边卜的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

　　我曾经在一张小学数学戚卷上看到这样一道题：“正方形的面积是5平方分米，求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看，这个问题小学生解决不了，因为要求圆的面积，一般要知道圆的半径，这题中就需要先知道正方形的边长，而正方形的面积是5平方分米，边长就是、√5分米，小学生没有学过开方，似乎没有办法进行计算。而实际上，正方形的面积是它边长的平方，圆的面积用到的是半径的平方，并不一定要知道半径，知道半径的平方就行了，而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一，所以是能够解决的。但有很多学生解决不了，而告诉他们答案后，学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系，从计算发展到推理。是很重要的。这里有很值得研究的问题。

　　小学生学的是很初等的数学，但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”，“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代，连孩子们都容易理解”。这几句话，我觉得非常亲切，因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点，把难的变成容易的，把高等的变成初等的。我想，高等的与初等的数学之间，没有必然的鸿沟，主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来，往往能够化难为易，化繁为简。

　　人们以前认为三角函数是非常难学的，是高等数学的内容。它既不是加减乘除，又不是开方，它是超越函数。在数学史上，函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果，就算没有函数的概念，学生也是比较容易理解的。三角函数则不然，一定要有“对应”的概念，函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年，我在新疆教过中学，那时发现学生学习三角比较困难，就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》，1997，中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现，三角不但可以变得很初等、很容易，而且可以成为初中数学的一条主线，把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》，《数学通报》，2007年1—2期)。张奠宙先生说，按我的这种思路，三角里的正弦函数，可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法，作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章：

　　矩形用单位正方形去度量，结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形，同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积，再乘上单位菱形面积的因子”，原理完全相同。一个明显的事实是：单位正方形压扁了，成为单位菱形，两者的区别在于角a。a是直角，面积为1，a不是直角，面积就要打折扣。这个折扣是一个小数，和a有关，记作 SINa(图5)。

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2010-12-26 18:57

　　张奠宙先生还说：“如果能从小学就学SINa，当然是一次解放。”

　　我们看到，数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质，就能把难的变成容易的，把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”，变得“孩子们都容易理解”。

　　不考虑矩形面积公式，不用单位菱形，也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问，一个等腰直角三角形，如果腰长为1，面积是多少呢?学生容易回答，是0.5。进一步探索，如果这个等腰三角形的顶角不是90度，比如是60度，它的面积是多少呢?学生从图上会看到，90度变成60度，面积会变小，要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家，这个折扣的更精确的数值，可以在计算器或计算机上查出来，它叫做SIN(60。)，约等于 0.8667，这就引进了正弦函数。知道了正弦函数，就能解决许多实际的几何问题。如果问，这个0.8667怎么得来的，就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识，更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

　　这里，既有数形结合，又有寓理于算，还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题，它给学生留下很大的思考空间，会使学生长远获益。

　　陈省身先生说过，数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学；不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说，方程就是好的数学。

　　函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了SINa，用这个概念解决几个看来很困难的问题(参看前引文章和书)，学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题?学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-26 18:57 编辑 ].

数学视野 2007-10-30 23:39:19 阅读1 评论0 字号：大中小
时　间：5月24日下午2时30分
嘉　宾：数学家 科普作家 张景中院士
主持人：人民网记者 陈玉川
主　题：中国科协七大“科技视点”系列
[主持人]网友们大家好！欢迎大家关注中国科协七大《科技视点》访谈节目，今天我们非常高兴请到中国科普作家协会理事长、中国科学院院士张景中院士，作客人民网科技论坛，让我们一同随他领略数学之美。张院士您好。

[张景中]您好。

[主持人]非常高兴能够在这次科协七大会场见到您，我们从小就是看您的数学方面的一些科普书籍，可以说您是我数学方面的启蒙老师，相信很多人和我一样都是接受了您的数学启蒙，那么，张院士，您是从什么时候开始进行数学方面的科普创作的？

[张景中]谢谢你看我的书，我从1980年，就是26年前开始创作科普读物。第一本书叫《数学传奇》，是少儿社出版的，文赞阳先生找我约的稿。

[主持人]您觉得作为一个科普作家来说，需要具备什么方面的素质？

[张景中]首先，要对科学的内容有真正的了解，如果他是一个专业的科学工作者，像数学家、化学家，他对他的本行业应该是很了解的。然后，他必须能够很好地驾驭语言，知道怎样把他的专业方面的东西用通俗的语言很清楚地说出来，又要让别人懂，又不能说错了，一个要说得对，一个要引起读者的共鸣。再有，除了语言流利之外，还要了解一点读者的情况、读者的心理。所以，真正要把科普读物写好是很不容易的。

[主持人]您觉得和一般的青年或者小孩子一起讲数学与您的同行进行学术交流相比，最大的区别是什么？

[张景中]最大的区别是用不同的语言。和同行交流的时候，大家有共同的专业术语、专业语言，可以自由运用。如果是给外行写科普，比如说写数学科普，对不大懂数学的人的话，就需要考虑用什么语言。另外，还要考虑怎么提起一个话题才能让他们感到有兴趣。而和同行讲则很自然，往往容易找到共同感兴趣的话题。做科普是你事先讲的话题他是一无所知的，你必须从他可能感兴趣的地方起个头，引导他对你的话题引起共鸣。所以，一个是语言的困难，一个是话题的困难。

[主持人]您能不能给我们举一些例子，就是您在从事数学的科普中间一些比较有趣的事情？

[张景中]在写科普的时候，往往是自己在那里想了很久，想出一个有趣的话题，然后才把它作为一本书或者一个思路的开头。比如说我想给小朋友讲交换律的重要性，你首先得想到交换律不成立的时候，得找一点让他们感兴趣的例子。后来我就想到朝三暮四，就举这个例子，说一个少年喂猴子，早上给猴子四个梨子，晚上给猴子三个，猴子发现晚上少了梨，就很不高兴，于是这个少年又改上早上三个梨子，晚上四个梨子，猴子每天晚上多吃一个梨子就高兴了。所以，同样是3+4，但在实际当中经过交换后结果就不一样了，而数学上交换是不影响结果的。这样一来，读者一开头就读进去了。所以，往往是为了一个话题想好几天，想不起来只好停下来不写。像写《 数学家的眼光》的时候，一开始选题， 陈省身先生开始说“三角形的内角和是180，这是不对的”，大家就笑起来了，我想这是一个好话题。为什么不对呢？不是结果不对，而是思想方法不对，引出了更深刻的思想见解。有些是我自己在研究工作中，想让自己有深刻的理解，自己要想个比喻，想着怎么理解这个问题，有时候就把例子记下来，有时候就放在脑子里。

[主持人]您主要是从事数学方面的科普，我们都知道数学是一门基础学科，您怎么看待数学和其他学科的关系？学好数学对我们学习其他学科有什么样的帮助？

[张景中]数学是一门基础学科，这不错。同时，数学是工具，同时是科学的语言。学习数学，可以培养我们思维的严谨性，这些都是对学习其他学科有很大帮助的，甚至于学习文科都会有很大的帮助。它使我们遇到问题能够冷静地思考，这个问题的条件是什么、目的是什么，有没有可能达到预期的目的，把各种可能都要考虑到。所以，我认为它除了是基础学科之外，还帮助人们思维探索，在工作方法上、在思考问题的方法上，都会带来很大的好处。

[主持人]您怎么看待数学在一个人成长过程中起到的作用？或者说学习数学对一个人的成长有哪些帮助呢？

[张景中]学习数学除了给人提供专业的数学知识，提供科学的工具，提供科学的语言之外，我想还有这样几个作用。第一，学习科学、领略自然界的规律的时候，会产生一种震撼的感觉，这种震撼的感觉对人从事科学探索是很重要的。举个例子，爱因斯坦在他小的时候，大概十一二岁的时候，他的叔叔给他那来一本几何书，他在里面看到一个定理，就是“三角形三条高线交于一点”，他在回忆录上写“这给我带来很大的震撼”，三角形的三条高线我们看不出来能交于一点，但实际上交于一点。我们不但能认识这个事情，还使人毫不怀疑地证明它。看来世界上有很多这样的奥秘，将来我也想探索世界的奥秘。这表明，数学引起了他探索科学的强烈愿望。
　　学习数学还可以使人感到科学思维的力量。每学习一个小时新的内容，你就发现能解决的问题就大大增加了，原来很多无能为的问题，学习一小时就会解决了。学习数学有解放的感觉，感觉科学无禁区，数学无禁区。一开始有些清规戒律，但随着学习内容往前发展，这些清规戒律都可以打破，都可以根据实际的需要、根据逻辑来改变。原来5-3可以，3-5不可以，学了负数，就可以减了；原来6÷3，可以，4÷3不可以，学了分数之后，也可以了。原来负数不能开平方，学了复数就可以了。从数字的运算到符号的运算，符号可以代表这个、代表那个，范围越来越扩大，到最后你只要合理的定义就可以，这些对于科学思维都是很有用的。
　　学数学，还可以培养人探索科学研究科学的信心，爱因斯坦在12岁的时候，看到勾股定理，他说2000年前，人们发现这样一个有趣的定理，我现在还不知道是为什么，我能不能知道了之后独立地证明？他就把书放在一边不看，自己试图证明勾股定理。他思考了3个星期证明出来了，树立了探索科学的信心。他说我能够独立地证明2000年前科学家发现的这个定理，说明我有能力做研究。

[主持人]在您的理想中的数学教育应该是什么样的？能不能给我们描绘一下？

[张景中]数学教育如果说我们国家的课程教育的话，首先我想国家会定一个标准，这个标准应是最低的标准。在这个标准的基础之上，应该提倡百花齐放，让不同的学校、不同的学生，在达到基本标准的同时，更多地了解一些数学知识。第二，学数学一定要让学生懂得道理，不仅知道是什么，还要知道为什么。另外，方法上应该多样化，不应该规定用什么方法放解决什么问题，这样数学教育就能有发展的空间，就能够做好。     

[主持人]谢谢张院士，您知道我们的网友中也有很多人是数学爱好者，您有什么话想对他们说吗？

[张景中]我想陈省身有句很好的话，就是“数学好玩”，把数学学得好，只有一个条件，也是个必需的条件，就是对数学感兴趣，对数学的结论、对数学的方法、对数学的发展过程有浓厚的兴趣，一旦有兴趣，就可能成为一个数学家。   

[主持人]谢谢张院士今天来到人民网进行访谈，感谢网友们的关注，希望大家继续关注中国科协七大，关注人民网科技频道，今天的访谈到此结束，再见。
（转自《人民网》）.

请计算下面这个算式的结果中有多少个零？
99...9 X 99...9 + 99...9
\____/    \____/    \____/
  2005个   2005个    2005个

Alex 第一次做答，结果中没有0。

其实要解答这个题非常容易：
99...9 X 99...9 + 99...9
＝99...9 X （99...9 + 1）
＝99...9 00...0
显然，正确答案为2005个零。

这是我的想法，可以这么教吗？我猜想，以 Alex 的智慧以及我的教学能力，教了，他肯定能懂。但是，如果这样教，我们从中得到了什么呢？会做一道题而已。这有意义吗？没有，因为在Alex 在以后的工作中，几乎不会用到这道题的结果。最后，我打定主意－－沉默不语，啥也不教，让他生想去。

过了差不多10分钟，Alex 给出了正确的结果。他说，2005个9太多，我怎么也想不明白，于是，从最简单的开始，像这样：
9 x 9 + 9 = 90
99 x 99 + 99 = 900
999x999 + 999 = 9000
...
（以此类推，）结果是2005个零。

看到这个计算过程，我心里非常满意。在这里 Alex 运用的就是张景中提到的函数思想。何谓函数思想？我以为包含以下几个要点：
1、动态地看待问题。
2、在动态变化中寻找规律。
3、遵循由简单到复杂，由少数推而广之到普遍的原则。

在小学运用函数思想可以解决很多教学上的难点，例如，三角形内角和等于180度，圆的周长（进一步，圆的面积）等。当老师或者BBMM认为这个公式除了让孩子记住、理解，别无它法的时候，都可以尝试使用函数思想，看看能不能使孩子在动态的变化中寻找到规律，即使找不到规律，也没有关系，因为重复的计算和操作、演示，至少可以让他们积累对规律的体会、、、而且，只要有时间，总是可以积累至水到渠成。建议大家，不妨一试。

Alex 做到这，我还觉得意犹未尽。于是继续问他，你不会是硬算出来的吧？Alex 答曰，是的。我继续问，那么现在你也许可以试试巧算。Alex 很快就算出来了：
9 x 9 + 9 = 9 x (9 + 1) = 90
99 x 99 + 99 = 99 x (99 + 1) = 9900
999x999 + 999 = 999x(999 + 1) = 999000
...
这还不够，因为这仅仅是算，如果更进一步，才能推进了普遍的规律（即“理”）的地步。
于是我把2005个改成了 N 个。很快地，Alex 顺其自然地推算出，结果中应该有 N 个零。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-1-3 13:05 编辑 ].

非常棒。小四不学圆的面积和体积，有的人想不明白，不就是两个公式吗？会乘法，就可以计算。其实，我们在等，等什么呢？等他们积累足够的知识和想象，使他们能生发出对于面积和体积的想象，而您的记录昭示了这种可能性。.

前段时间讨论越南菲尔兹奖得主吴宝珠时，搜索到他的合作者--恽之玮跟北大数学系学弟的谈话，俺看了以后，很受启发。原文详见：
http://www.libragold.com/blog/?p=320

恽之玮，北京大学数学科学学院00级的学生，后去Princeton读研，2009年至2010年期间在高等研究所（Institute of Advanced Study）工作，目前在MIT就职，主要工作方向为几何表示论（Geometric Representation Theory）。

最后一段比较有意思：
“比如黑板上就抄着一个定理，也不用管它的证明，那能不能就这个定理问一些问题？这个定理一定要去欣赏，很多时候写了一个定理，然后开始证明，证明完了，课也结束了。其实证明是其次的，如果真正感兴趣了，再去看证明，但首先需要欣赏，这个定理漂亮在哪里？有用在哪里？要花甚至比看证明更多的时间来想这个问题。当然，我现在是这么说，但我学的时候也不是这样，自学的时候也是看看定理的叙述，有时候自己再想一想，有时候想不出来就看看人家怎么做的。其实这些都是中学的学习方法，是不对的，真正学数学不应该这么学。”.

引用:

原帖由 happyyj 于 2011-1-31 13:43 发表
能欣赏，真的也是一种境界了。

我发现我家这小四有点偏爱数学、也非常意欲“欣赏”数学，可考试把他拉回了现实中，
这次区统考，连班中的平均分都没能达到。

平时的成绩怎么样？平均分是多少？.

要在这种统考中取得好成绩，例如100分，其实非常简单。
一是细致，最好是从男生练成女生的性格。
二是重复，水平要跟统考保持一致，难的别去想，低于这个水平的也不要多练。

所以，我在小学版块发贴，抵制这种无意义的区统考和质量抽查。

对于成绩，要正确看待，也不简单地说不要紧就可以了。最好是把试卷拿回来做分析。可以由孩子自己去做，如此可以建立对自己正确的认识。没有人是完美的，考100分的人也不完美。重要的是知道自己的不足，想办法予以改进。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2011-1-31 13:43 发表
能欣赏，真的也是一种境界了。

与其说是境界，不如说是习惯。如你们母子俩从球的体积引发出宏观与微观世界的想象，就是一种欣赏。
有人说，研究专业数学的人的世界观与非专业的世界观是不同。我觉得，至少有一点可以说明这种不同，即：
研究数学的人，从数学中获得了美的享受，这种享受只能始于欣赏。
而非专业的人，从数学中感觉到的是枯燥乏味，因为他们关心数学的术，术的提高只能通过练习来获得。.

《冰眼看日本》中有这么一段：
“怎么个不教育法？比如，不准说圆周率是3.14，那对小孩太难，圆周率是3！英语的Sunday, Monday什么的全部背下来对学生太惨无人道，背三个就行了，至于星期四怎么办？那就祈祷天照大神保佑和老外打交道时没星期四什么事吧！谁要是敢说一句“学生应该以学为主”的话，那简直就是大逆不道，侵犯儿童人权，为人类公敌！”

其实，这里体现的就是中式教育与西式教育根本的不同。中式教育讲的是“教”，所谓“天不生仲尼，万古如长夜”，没有老师，同学们就不可能懂得“π”是什么，它的数值是多少。而西式教育相信知识蕴含在每个同学的灵魂深处，他们只是暂时忘记了，老师所要做的仅仅是唤醒他们对知识的最初记忆，然后同学们可以以此为基因，或快或慢地领悟到更高深的知识。

在对待“π”上，中国老师就直言相告，它的值在3.1415926到3.1415927之间，这是中国古代数学家如刘徽、祖冲之计算出来的结果，仿佛没有刘徽和祖冲之，同学们便永不可能知道π的值。然后，就是出题、计算，运用这个“π”计算不同直径的圆的周长。

在西方教育中，老师会让同学们去探索圆周的长度。以小学的知识，最普遍的，可以探索到以下结果：
1、圆周的长度与且仅与半径有关。半径越大，圆周就越长。半径为0，圆周也为0。
2、在圆内，可以用半径为边长画出一个正六边形。这个正六边形的边长是直径的3倍，半径的6被。

某些同学能感觉到，如果我们可以计算正N边形的周长，那么结果就一定会更趋于圆周的周长。只是受他们已有数学工具的限制，暂时还做不到罢了。

这就是为什么冰眼看不懂日本的教育，因为他本人一定是被“教”会“π”的。换言之，像咱们这种被“教”出来的人，打骨子里认为，学生就是蠢蛋，他们只能认真听老师讲，然后学而时习之，万不可能自主发现“π”的真谛。

创造力便是如此被毁在我们这些BBMM手里的。.

Kervin是Alex的表弟，今年一年级。

我指着车牌对Kervin说：你能把这个牌子上的数字都加起来吗？
Kervin：可以啊，8 + 5 = 13，13 + 5 = 18
我：哦，对啊。你们老师有教过你们巧算吗？
Kervin：什么是巧算啊？
我：巧算就是说，不一定要按照顺序加，先看看怎么计算起来更方便？
Kervin：哦？
我：例如，8+5+5。我先给你8颗糖，再给5颗，再给5颗，你一共得到18颗糖。不过，你也可以先算后两次给了你多少糖、、、
Kervin：我知道了。5 + 5 = 10，10 + 8 = 18、、、
我：对，这就是巧算。
Kervin：这样算，简单了。
我：你再算算这块牌子呢？（3 + 6 + 7）
Kervin：3＋6＝9
我：可以先想想看，能不能巧算呢？
Kervin想了想：3 + 7 = 10，10 + 6 = 16。
如此，我们计算了若干块车牌。其中有一两块的数字和大于20了，Kervin说，计算不出。俺表示认可，他们目前只学了20以内的加减法。
我：你们学过减法了吗？
Kervin：学过了。减法可以用巧算吗？
我：当然可以，不过，比加法的巧算复杂些。
Kervin说：巧算蛮简单的、、、哦，也有点难。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-2-3 22:48 编辑 ].

以现代的数学眼光看，数学的起源至少包括两个部分，数与形。

关于数
这个大家讨论的比较多，在google上可以很容易查到数字的起源。例如：
早在原始人时代，人们在生产活动中注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异，随着时间的推移慢慢的产生了数的概念。数的概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。

推荐大家阅读《我们怎样发现了－－数字》这本书，如果有兴趣，或者准备在幼儿阶段对孩子进行数学启蒙的话。
http://www.verycd.com/topics/2790858/
顺便看看这套丛书里边的其它几本。

关于形
我们知道，初中和高中数学有一门课是《几何》。普遍地，大家觉得比较难学。个人以为，问题在于大家在数学启蒙的时候通常比较关注数而忽略形。当然，明白地讲，形的启蒙并不是什么大不了的事情，也就是玩玩点、线、方、圆和各种体，本来正常的玩耍都会接触到这些，如搭积木、玩沙子、剪纸折纸等。只是有些急于早教的BBMM没有认识形在数学启蒙中的重要性，认为这些是无聊的游戏，简单地予以忽略了。自然地，到了初中高中研习数学中有关形的部分时，可能出现障碍。

体验为先
数和形是数学启蒙的内容，而体验为先，则是数学启蒙的方法。何为体验为先？简单地说，就是把孩子放出去玩，跑、跳、跟别的孩子一起做游戏、跟着BBMM一起逛超市、或者种花种草养小动物等，再简单点说，让孩子投入到生活和实践。因为整个人类对数学的认识就是这么来的，数学之源就是生活和实践。老师和BBMM的讲解，以及看书，只能使同学们在生活实践到数学的过程中，少走弯路，不走岔路，换言之，加速这个过程（不加速不行啊，原来这个过程经历了几十万年），但是，请大家注意，无论如何，老师、BBMM、书，都不可能代替生活实践。
例如，你无法讲明白什么是大和小，重和轻，快和慢，相等与不等，加速度等，这些都是基础数学知识的基础，处在知识结构的最下面一层，这些东西只能靠体验的积累。加州数学大纲中提到这么一个观点，你没法让孩子搞明白长度单位的含义，如果你不让他们去做实际的测量工作。.

在生活中学习数学，可能是最适合小宝宝的方法，只是我自己的数学成绩平平，高等数学差不多都还给老师了，有时怕教错了孩子，但如果能引起他的一点点兴趣，我想还是值得尝试的。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
原来一年级的时候也这么担心过。怕教错了，这很正常，家长并不个个都是数学教授，无论原来数学成绩有多好，肯定是比不上数学教授的。但是，看过数学教授教小学生的课案，我发现，关键不在于数学知识的多少，而在于如何跟幼儿、少儿的水平如何衔接起来。否则，老师在天上，同学在地下，这一堂课下来，等同于解释牛头不对马嘴的含义。

一转眼，混到了四年级，我想通了。放弃“教”的想法是亲子数学的一条出路。BBMM们不能“教”、不会“教”，那就不“教”。不“教”并不是放手不管，而是跟同学们一起学、一起体验、一起玩数学。他没问题的时候，就引导他提问题。他提出了问题，就跟他讨论问题、研究问题。在这个过程中，让同学们建立起解决问题的自信、体验到数学的快乐，自信＋快乐，这些是每个BBMM都能给出来的，足矣。.

引用:

原帖由 程嘟嘟妈妈 于 2011-2-16 16:34 发表
在生活中学习数学，可能是最适合小宝宝的方法，只是我自己的数学成绩平平，高等数学差不多都还给老师了，有时怕教错了孩子，但如果能引起他的一点点兴趣，我想还是值得尝试的。
关于负数，我们家也碰到过两个例子。 ...

非常棒的体验数学。英式楼房有个Ground floor，就是数学上的0层。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-2-16 17:19 编辑 ].

此问题之妙在于不用讲，实实在在听到钟声，就恍然大悟了。.

哈！.

X同学暑期来我家。同学们来玩，可以，欢迎，但我的底线先广而告之，不能看电视，不能用计算机玩游戏。X同学跟Alex，聊天，打乒乓球，看看电影，各种玩得不亦乐乎，到了下午，没得玩了。这时，我也空了下来，“顺大便，做几道数学题吧！”听到这话，X同学立刻倒在了沙发上，以一种奇怪地不情愿地强调说：“做、、、数学题啊！”听得出来，这又是一位对数学没兴趣的主。Alex 也随声附和。我说，“又不是出难题为难你们，这样吧。如果觉得难，做不了，可以商量，我们三个臭皮匠凑一个诸葛亮吧。”X同学和Alex 勉强答应了。

以下是华罗庚奥数教材四年级上的几道题：
　　1.计算899998＋89998＋8998＋898＋88
　　2.计算799999＋79999＋7999＋799＋79
　　3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）
　　4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993
　　5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？
　　6.求出从1～25的全体自然数之和.
　　7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
　　8.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
　　9.计算（125×99＋125）×16
　　10.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
　　11.计算999999×78053
　　12.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
我们花了差不多2-3个小时，逐一地把这些问题都解决了。对于两个四升五的孩子来说，“...”据说是最令他们头疼的。

在这个暑期里边，Alex 比较空，我们陆陆续续做了些类似的数学难题。也总结了些经验：
1、四年级暑期做四年级的比较合适。因为用到的知识基本已经学过了。
2、轻松一些，不过是顺便做做，打发时间。能做则做，不能做大家一起讨论。讨论不出来，就算了，很可能题目超出了孩子能理解的范围。
3、不要跟别的孩子拼题目的难度，家长和孩子都不要去炫耀。会做不会做只是个时间早晚的问题。
4、家长和孩子都不要看奥数教材前面的讲解，不要看题解，家长也不要讲（除非是小学的数学老师）。这样做，就是为了避免家长不经意间使用了自己已学的知识和技能，给孩子造成学习的压力。
5、碰到难题，先问问孩子有什么想法，例如，试算、方程、画图、实验等。家长在讨论尽力迎合孩子的想法。因为孩子提出的想法，往往是他知道的，或者想过、用过，是他们准备好接受的方法。顺孩子的思路做，事半而功倍。
6、家长不要急于给出答案，也不要急于讲解，甚至不要急于提示。给孩子留下尽量多的时间思考。一道难题，想上2－3天，偶尔提起，保持孩子的兴趣，使他不断地想起，最终答案会水落石出的。那时，那种兴奋的感觉，绝不是匆匆忙忙，把数学题当任务，所能体会到的。

当然，以上这些经验不适合要考奥数证书的童鞋。.

各位BBMM有什么问题、想法或者建议，不妨提出来。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2011-8-11 10:05 发表

呵呵，有先见之明呀！——小五会学简易方程，要有代数作为基础，否则，同学们很难理解。

前段时间看了美国小学生数学书，他们从一年级就开始进行代数启蒙了。我们的教科书其实也有。在BBMM和一些老师中，对代数存在一些误解，甚至在奥数中，还有人崇尚算术解法，拒绝代数。
算术到代数，是人类对数学认识的一个循序渐进的过程。在学习数学的时候，不能说，小学就学算术，初中就学代数，把这个过程人为地割裂开来。.

甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
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这是小学奥数里边津津乐道的反复相遇问题，不妨给小五生做做。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2011-8-15 20:34 发表
11要是5分钟完成了作业，你会让他玩55分钟游戏吗？

三年级以上，不可能有5分钟的作业。一般说来，能认真把作业做完，留下30－60分钟看看课外书，就差不多该睡觉了。
至于游戏，我是不反对玩的。但实际上，也是没有时间玩。所谓把孩子塑造成统一的模式，就是让老师安排孩子的学校时间和在家里的时间来完成。
严重的现实是，在有些家庭里边，爸爸妈妈跟孩子交谈的时间都没有，就做作业了，大量的。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2011-8-16 09:55 发表
请问旺旺有没有亲子数学社这样的群组? 好像除了这个帖, 没有其他讨论数学的帖子了啊

没有。搜索 数学放飞 可以看到我原来发的一些帖子。喵喵的群组，有必要继续维护和保留吗？.

引用:

原帖由 merry77 于 2011-8-16 13:46 发表
最好能在这边搞个圈子，那边贴图比较麻烦。

同有这个想法。如果有类似喵喵的群组，可以做整理，专题讨论。.

恭贺 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣 的 亲子数学社@我不知道 有了自己的圈子
http://ww123.net/forumdisplay.php?fid=20&cycleid=1112

欢迎 收藏本版.

今日，跟儿子一起骑车，送他去游泳馆游泳。到了路口，突然，红灯亮了。

子：红灯真长啊！
父：哦，是的，要90秒呢。一会注意看看绿灯有多长时间。
绿灯亮了，集中注意力，过了马路，一边骑一边聊。
子：绿灯只有15秒呢！
父：这么短，为什么呢？都是大马路，为什么有的绿灯保持的时间长有的短呢？
子：你说呢？
父：难道是某个人，领导定的，他说长就长，说短就短。
子：不会吧。
父：那，你觉得应该根据什么来确定呢？
子：等等、、、应该根据车子的多少吧？
父：你的意思是这条路上车少，所以绿灯时间短，刚才过的那条路上车多，所以绿灯时间长。
子：是的，我认为这比较有道理。
父：可是，怎么计算呢？如果在这条路上，计算了一天有过多少车子，在那条路上只计算一个小时过了多少车子、、、
子：那样比较不公平。应该以一天过了多少车子来计算。
父：哦，那么应该用什么单位呢？
子：车/每天。我听新闻里说过客流量，是不是就这个啊？
父：哦。客流量是指每天过了多少客人，这个是车子，应该称之为、、、
子：车流量。
父：还有一个问题。我观察过，这两条路上，12点以后车子很少，如果按一天算，是不是不准啊？
子：那好办，可以算白天的车流量。
父：对。可以规定从几点算到几点。那我们就不用“天”作为单位了，用小时吧。
子：可以用总的车子数量除以小时数，单位是 车/每小时。
父：如果是计算河里的水流量，怎么办呢？又不能像现在这样数。
子：让我想想、、、应该用毫升作为单位吧。
父：哦，我明白了，这时应该用体积。不过，毫升太小气了，用升或者立方米吧。
子：那单位就是立方米/每时。.

引用:

原帖由 毛虫子 于 2011-8-19 16:34 发表
儿子做数学粗心，不多做题，计算能力提不高，多做吧！也没觉得他提高很多，只是略有进步！

粗心是模糊的概念。找不到原因都可以归结到粗心。有可能是基础不扎实，有可能是学习的兴趣不高，有可能是因为性格和年龄的关系，甚至考了99分家长却要求100分、、、
判断是何种情况，需要更详细的信息，例如，几年级了。最好把错在那里，写上来，方可具体问题具体分析、、、.

1、拿一根真正的绳子玩。把绳子的长度按比例缩小，例如，厘米.

2、把绳子对折一次。

问：对折以后绳子变长了还是变短了？
这个问题应该不难回答。不要因为这个问题简单就不问。因为这是一种重要的数学方法，即定性分析。不要一看到题，就忙不迭地写算式。先远观一个问题，高屋建瓴地分析，否则，具体而微地投入进去以后，全部注意力都在做计算的细节后，很容易陷入不识庐山真面目的困境。去过苏州的狮子园吗？那里有个假山摆出来的迷宫，在下面曲折小径里边走，很难找到出口，这时，爬上高处瞭望，才能一目了然。这是一个好的习惯，要通过多次的示范，通过多次的问问题来引导。

指着对折以后的绳子问，假设现在的长度是8厘米，那么对折以前是多少呢？
如果孩子回答错了，例如，4CM，不要紧，别慌，也不要解释，不要争论。先让孩子列出算式。然后，好吧，就算对折前的长度是4CM，剪一条4CM的绳子，让孩子测量确认，然后对折，让孩子测量。咦，肿么不对呢？是啊，为什么呢？让孩子自己去琢磨。等他琢磨出来，记住提醒他修正自己的算式。
如果孩子的回答是对的，爸爸妈妈有时间和兴趣，也不妨扮演反方，来质疑。轴一点。逼到孩子只能用实验来证明。最后，爸爸妈妈服膺于实验的结果，也是一种很好的有关理性的教育。

3、把绳子折成三段。
重复前面的2个问题和过程。即：
问：对折以后绳子变长了还是变短了？
指着对折以后的绳子问，假设现在的长度是8厘米，那么对折以前是多少呢？

4、把绳子折成四段，即对折又对折。
重复前面的2个问题和过程。即：
问：对折以后绳子变长了还是变短了？
指着对折以后的绳子问，假设现在的长度是8厘米，那么对折以前是多少呢？

5、可能，大家对三折和对折又对折存在分歧。
没问题，大家辨吧。可以请仲裁，可以找帮腔的。越热闹越好。

可能有的BBMM会说，像你这么干，大概要半天时间吧。言下之意，是不是想说我的方案太浪费时间了？那么，来盘点下，我们让孩子接触到哪些东西：
1、先做定性分析，后做定量分析。先远观后近瞧。
2、可以假设结果，再用事实证伪。
3、服膺事实。
4、对折，三折，对折再对折，有三个算式吧。正好组成一个代数过程。我要说，这是代数启蒙，可以吗？.

在自行车车棚里。

父：儿子，你看看这辆自行车，“昆山的”？
子：哪里啊？
我指了指。
子：你看错了，那上面的字母是“KSQ”，不是“KSD”。
父：那就是“昆山去”自行车吧。
子：你咋就知道“昆山”。
父：因为，你外婆在那里。那，你说说应该是什么呢？
子：、、、
父：是不是我先说了“昆山”，你很难再想起别的了？
子：嗯。

学数学，如学走路。如果我们去“拉”孩子，那么，孩子就可能只是复制我们的选择，永远无法超过我们的速度。而一旦“拉”力消失，孩子就可能倒下。所以，正确的做法是“扶”或者“推”，目的在于让孩子自己学会自动、自主。

教数学，要把最好的、一般好、次好的、普通的方法都留给同学去发现。同学问你这道题怎么做，要答之以最笨的方法，或者不知道，甚至是错误的方法。然后，再引导孩子去发现。因为我们的目的是让同学变得聪明智慧，而不是让大人们用自己的知识和经验在同学面前显摆。引导同学去发现，把同学当人。臭显摆让同学依葫芦画瓢，把同学当鸭。.

窝里小装修，厨房和卫生间被拆了，每日一家门都到相熟的同事家吃饭。儿子跟同事的女儿在一个班，都是四升五。
某日，晚餐较丰盛，还未准备好，Alex和我已经就位了。

什么是圆的周长
父：看来晚饭还有些时候，我们来研究下圆的周长吧。
女：这个老师没讲哦。
父：有什么关系，我们就是瞎玩玩，反正吃饭还要等会儿。
女：哦。
父：什么是周长？这个先要搞清楚。
女：这个我知道的，长方形的四条边的长度加起来就是长方形的周长。
父：对，圆的周长就是指圆的边的长度。
女：可是，长方形的周长有公式，可以算。圆的周长也有公式的吧？
父：是的，当然有公式。不过呢，我们可先想想，没有公式，我们用什么办法来测量圆的周长呢？
女：那要看你测量哪个圆了？
父：哦，就说这个茶杯吧。
女：可以直尺绕一圈。
子：可以找根绳子先绕一圈，然后测量绳子的长度。
父：可惜这个茶杯有个把，我的方法不能用了。
女：如果没把，你是不是想把这个茶杯滚一圈、、、
子：我知道了，测量这个茶杯留下的痕迹，也可以。
父：今天没时间测量了，否则可以多测量几个。
子：做个表，说不定能发现规律。
父：是的，规律其实就是老师说的公式。
女：嗯。

圆的周长跟什么有关
饭菜还没上桌呢，继续。
父：谁能告诉我，圆是怎么画出来的？
女：这个简单，需要圆心。
子：还有半径。
女：对，给我圆心和半径，就可以画出圆来。
父：可是，这个杯子没有圆心，没法测量半径。
女：可以测量直径啊。
子：可以用公司里的游标卡尺，用卡子卡住杯子。
父：可是，那是直径，半径还是不知道？
女：直径除以2就是半径。
父：哦，我明白了，半径就是直径的一半。
女：对的。
父：那么，圆除了圆心和半径，还有别的吗？
女：应该没有了吧、、、
子：绝对没有了。
父：那么，我可不可以说，两个圆，如果半径一样，这两个圆就是相等的？
女：是的。

猜公式
父：我再问个古怪的问题，如果一个圆的半径为0，那么它的周长是多少呢？
女：半径为0，那就是点了呀。
父：对啊，我就是说，点是半径为0的圆，可以吗？
子：你这么说的话，那这个圆的周长就是0。
父：我把半径增加一点点、、、
女：周长也增加一点点。
父：我再把半径增加一点点、、、
子：那周长肯定也增加了。
父：好吧，我用加减乘除列出几个公式，你们猜猜，那个可以用来计算圆的周长，我用直径吧：

1、圆周 ＝ 直径 ＋（ ）
2、圆周 ＝ 直径 － （ ）
3、圆周 ＝ 直径 × （ ）
4、圆周 ＝ 直径 ÷ （ ）

子：肯定不是第一和第二个。
女：为什么？
子：直径为0的时候，周长不对啊。
女：那肯定也不是4。

第一道菜上桌了，估计还要些时间。
父：为什么？
女：圆周长啊。
父：是吗？这个得比划以下吧。
女：就用这个杯子吧。
儿子和同事的女儿忙开了。

π比3略大
子：我想起来了，
圆周 ＝ 直径 × （ ）
括号里边的数是π？
父：哦，你从哪里看来的？
子：《可怕的科学》上讲过，π是圆周率。
父：对的。古代人发现了这个公式，中国的古代数学家刘徽和祖冲之都计算过π。
子：那π是多少呢？

在纸上画圆，以半径为边长做内接六边形。
父：谁还记得，三角形的内角和是多少？
女：忘了。
子：360°
父：晕，那查查书吧？
子：我说的不对，应该是180°
女：对，180°。

继续作图，把六边形的6个顶点与圆心连接起来。
父：这六条新画的半径是不是把一个圆分成了均等的六份？
女：是的。
父：每一份是多少度呢？
子：60°
女：对。360÷6＝60
父：那么，这个由两条半径和六边形的一边组成的三角形有什么特点？
子：等边三角形。
女：等腰吧。
父：为什么？
女：半径相等。
父：那就是等腰三角形了。等腰三角形的这两个底角相等，对吧？
女：对的。
父：那么能算出来它们是多少度吗？
子：60°
女：我想想、、、
180－60＝120
120÷2＝60
对的，是60°。
父：也就是说，这个三角形的三个角都相等，对吧？
女：哦，那就是等边三角形了。
父：也就是说，六边形的边长是、、、
女：半径。
父：好。也就是说，圆周包住了6条半径。
子：我知道了，π 比 3 大一点点。
女：不是6吗？
子：公式里边说的是直径啊。
女：哦，6÷2＝3。对的。

饭菜齐了，该结束了。
父：实际上，祖冲之算出来，π在 3.1415926 到 3.1415927 之间。
女：这么多小数，有公式也不好算啊。
父：还不好念呢。
子：所以用字母 π 来代替。
父：对的。圆周 ＝ π x 直径，π 比 3大一点。
女：可是，我们怎么用呢？这么难算。
父：其实，在实际的工作中，比如要剪条绳子绕这个杯子一圈，只需要使绳子的长度为杯子的直径的3倍，再估摸做留点线头。
女：我知道了，绕完了以后，把线头剪掉就可以了。

妈妈、婆婆齐声喊：“吃饭了。先洗手。”众人一哄而散。.

顺其自然，有兴趣，就学，就讲。不说教，是不想跟灌输混同起来。至于交流，好像不用担心。原因可能是孩子小。我听说，小孩子是天生的外交家。只要给孩子们时间在一起，你的孩子和其他孩子会互相调适的。再者说，兴趣可以广泛，不限于数学。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2011-8-28 09:55 发表
现在要给孩子找个朋友也不容易. 小朋友们都很忙的. 倒是有个小孩经常来我家玩, 不过每次一来就要打僵尸, 然后还打各种电脑游戏. 我也没办法, 只好尽量劝他也玩点别的.

昨天把系列没讲过的几本拿出来,给孩子挑能懂 ...

可以考虑弄个学习小组，定期的搞一次数学讨论。Alex 同学也是想来打电子游戏，家里的电脑多，但是这是我的底线－－不行。.

http://www.kuqin.com/math/20071126/2659.html

作者：不详　来源：互联网 　 2007-11-26

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世界第一数学强校的背后纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金（Н. Н. Лузин），亚历山德罗夫（П. С. Александров），柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），盖尔范德（И. М. Гельфанд），沙法列维奇（И. Р. Шафаревич），阿洛尔德（В. И. Арнольд）等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学（Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова）。

莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。对于莫斯科大学，我们是既熟悉又陌生，说熟悉是因为，中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响。我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材，做莫斯科大学的数学习题集，直到现在许多数学专业的学生还在做各种莫斯科大学编写的习题集。

如在下我，就曾经做过吉米多维奇的《数学分析习题集》（Б. П. Демидович《Сборник задач и упражнений по математическому анализу》）、巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》（С. В. Бахвалов《Сборник задач по аналитической геометрии》）、普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》（И. В. Проскурярков《Сборник задач по линейной алгебре》）、法杰耶夫的《高等代数习题集》（Д. К. Фаддеев《Сборник задач по высшей алгебре》）、菲力波夫的《常微分方程习题集》（А. Ф. Филиппов《Сборник задач по дифференциальныму уравнениям》）、沃尔维科斯基的《复变函数习题集》（Л. И. Волковыский《Сборник задач по теории функций комплексного переменного》）、符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》（В. С. Владимиров《Сборник задач по уравнениям математической физики》）、费坚科的《微分几何习题集》（А. С. Феденко)《Сборник задач по дифференциальной геометрии》）、克里洛夫的《泛函分析——理论•习题•解答》（А. А. Кириллова《Теоремы и задачи функционального анализ》）、捷利亚科夫的《实变函数习题集》（С.А.Теляковский《Сборник задач по теории функций действительного переменного》）。

说陌生的因为，莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭。那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在？我很幸运家里有亲戚，曾于80年代公派到莫斯科大学数学力学部读副博士（кандидат）（相当于美国的博士），又有熟人正在莫斯科大学数学力学系读副博士。从中了解到莫斯科大学数学学科的具体情况，特地把这些都发在BBS上，让大家看看，世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的。

邓小平有句话说足球要从娃娃抓起，莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起。每年暑假，俄罗斯各个大学的数学力学系和计算数学系（俄罗斯的大学没有我们这样的数学学院，如莫斯科大学，有18个系和2个学院，和数学有关的是数学力学系（Mеханико-математический факультет）和计算数学与自动控制系（Факультет вычислительной математики и кибернетики），数学力学系下设数学部（Отделение математики）和力学部（Отделение механики），其中的力学部和我国的力学系大不相同，倒接近于应用数学系，计算数学与控制论系（Факультет вычислительной математики и кибернетики）包括计算数学部和控制论部2个部，计算数学部和我国的信息与计算科学专业相当，控制论部接近于我国的自动化系。

但是数学学的很多，前二年数学力学系及计算数学与控制论系一起上课，第三年数学力学系和计算数学与控制论系一起学计算数学方面的课程，到大四大五才单独上专业课）都要举办数学夏令营（Летний математический лагерь），凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加，完全是自愿的。由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告。莫斯科大学的数学夏令营是最受欢迎的，每年报名的人都是人满为患，大家都希望能一睹数学大师们的风采，听数学大师讲课，做报告，特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）和维洛格拉托夫（И. М. Виноградов），吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）（苏联有了微型电子计算机后，吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）经常在夏令营里教人玩计算机）几乎每年都参加夏令营的活动。

          数学夏令营和我国的奥数班不同，他的目的不是让学生参加什么竞赛，拿什么奖，而是培养学生对数学的兴趣，发现有数学天赋的学生，使他们能通过和数学家的接触，让他们了解数学，并最终走上数学家的道路。

           在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的提议下，从70年代开始，苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学，从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学，由大学教授直接授课，他们毕业后都能进入各个名牌大学。其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）科学中学（Школа Колмогорова- специализированный учебно-научный ценр МГУ имени М. В. Ломоносова）。这所学校从全国招收有数学、物理方面天赋的学生，完全免费。对家境贫寒的学生还发给补助，尽管莫斯科大学现在经济上困难重重，但这点直到现在都没变。事实上科学中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的。到80年代末，90年代初，已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了科学院院士。

          中国的大学，近年来常爆出招生中走后门的丑闻。其实以前就有高干子弟，成绩不好，居然能进名牌大学的事情。象50-60年代的北京大学、科技大学、清华大学都有这样的学生。南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟，从当家老大变成二流重点大学。现在，大概没那个中央领导的子弟看的上，估计这样的学生是没有的。反观莫大，那可是非硬功夫进不去的，就算你是苏共总书记的儿子也一样。

莫大敢如此硬气，其实是其前校长彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）（我们对这位大数学家不会陌生吧！）利用担任最高苏维埃主席团成员（член Президиума Верховного Совета СССР）以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关。

苏联有明确规定，包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人（其它大学，高级官员的子女同等条件优先），必须是择优录取。莫大的生源好，和苏联的整体基础教育水平高也有关。苏联有一点值得中国学习，苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的，像数学就是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）、吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）和庞特里亚金（Л. С. Понтрягин）写的，而且苏联已经把微积分、线性代数、欧氏空间解析几何放到中学教了。大学的数学分析、代数、几何就可以在更高的观点上看问题了（其实和美国的高等微积分、初等微积分的方法相似）。

          有一流的生源，不一定能培养出一流的数学家，还必须要有严谨的学风。莫大的规定相当的严格，必修课，一门不及格（不过政治和体育除外，政治是因为学校在这方面睁一只眼闭一只眼，纯粹是给上面看的），留级，两门不及格，开除，而且考试纪律很严，作弊简直是比登天还难！莫大的考试方法非常特殊，完全用口试的方式。主课如数学分析或者现代几何学、物理学、理论力学之类，一个学期要考好及次，像数学分析，要考7-8次。考试一般的方法如下：考场里有2-3个考官考一个学生，第一个学生考试以前，第二个学生先抽签（签上就是考题），考试时间一般是30-45分钟，第一个考试的时候，第二个在旁边准备，其他人在门外等候，考生要当场分析问题给考官听后，再做解答。据称难度远大于笔试，感觉像论文答辩。

          不过莫大有一点是挺自由的，就是转专业，这一般都能成功，像柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров）就是从历史系转到数学力学系，这是尽人皆知的。

中国的数学专业往往是老师满堂灌，学生下面听，最糟糕的是有的老师基本是照本宣科，整一个读书机器。莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课（其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下，应当按自己的理解讲课），也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材，其实就是没有教材，只有参考书！而且莫大的课程都有相应的讨论课，每门课的讨论课和讲课的比例至少是1：1，象外语课就完全是讨论课了！讨论课一般是一个助教带上一组学生，组织讨论班，像一些基础课的讨论班比如大一，大二的数学分析、解析几何、线性代数与几何（其实讲的是微分几何和射影几何）、代数学、微分方程、复分析、大三的微分几何与拓扑、大四的现代几何学（整体微分几何）都是以讨论习题和讲课内容为主。为了让学生多做题，做好题，所以教师要准备有足够的高质量的习题资料，像前面说的各种各样的习题集，就是把其中的一部分题目拿出来出版发行（事实上在打基础的阶段不多练习是不行的）。总的来说，讨论课的数量大于讲授，如1987年大纲，大一第一学期，每周讲课是13节，讨论是24节（不算选修课）。而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲，柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），辛钦（А. Я. Хинчин）都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课，现在的莫大校长萨多夫尼奇（В. А. Садовничий），目前也在给大一学生讲《数学分析》（不过校长事情太多，不太可能一个人把课给上下来）。

想培养一流数学家，就一定要重视科研训练，包括参加各种学术讨论班和写论文，莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营，那他在入学以前已经有一定的科研训练，因为，在夏令营就要组织写小论文。

入学以后，学校也鼓励学生写论文，到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班，以决定大四大五是参加哪个教研组（莫大数学部有17个教研室，如数学分析教研室（Кафедра математического анализа），函数论与泛函分析教研室（Кафедра теории функций и функционального анализа），高等代数教研室（Кафедра высшей алгебры），高等几何与拓扑学教研室（Кафедра высшей геометрии и топологии），微分几何及其应用教研室（Кафедра дифференциальной геометрии и её приложений），一般拓扑与几何学教研室（Кафедра общей топологии и геометрии），离散数学教研室（Кафедра дискретной математики），微分方程教研室（Кафедра дифференциальных уравнений），计算数学教研室（Кафедра вычислительной математики），数理逻辑与算法论教研室（Кафедра математической логики и теории алгоритмов），概率论教研室（Кафедра теории вероятностей），数理统计与随机过程教研室（Кафедра математической статистики и случайных процессов），一般控制问题教研室（Кафедра общих проблем управления），数论教研室（Кафедра теории чисел），智能系统数学理论教研室（Кафедра математической теории интеллектуальных систем），动力系统理论教研室（Кафедра теории динамических систем），数学与力学史教研室（Кабинет истории математики и механики），初等数学教学法教研室（Кабинет методики преподавания элементарной математики）等。每个教研室下设教研组（教研组即是科研单位又是教学单位）的活动（莫大数学系，到了大四大五，学生每学期要参加一个学术讨论班（семинар）目的是写论文，莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文，其中2篇是学年论文，一篇作为毕业论文，毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文的杂志上，半年内无人提出异议方可进行论文答辩，而且参加答辩的人是从全国随机抽取的。答辩时还要考察一下学生的专业知识，这种答辩又称为国家考试。

         对于本科生，需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解，莫大在这点做的很不错，数学系的学生不仅要学习现代几何学，高等代数（内容大概包括交换代数和李群李代数）等现代数学，也要学习理论力学，连续介质力学，物理学中的数学方法（大概相当于我国物理专业的电动力学，热力学与统计物理，量子力学）等课程。而且还有一些各种各样的选修课，供学生选择。必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程，所以莫大的学生在应用数学方面尤其出色。

         要成为一个合格的数学家，光短短5年的本科是远远不够，还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究，应该说莫大的研究生院在数学方面绝对是天下第一的研究生院，莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班，讨论班的组织者都是世界闻名的数学家，参加讨论班的不仅有莫大的学者，还有来自全苏各个科研机构的学者。经过5年的必修课和专门化课，选修课的学习，凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识，所以莫大的研究生是不上课的，一来就是上讨论班，进行科学研究，同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文，毕业论文要拿到杂志上发表半年以后，有15名来自不同单位的博士签名，才能参加答辩。答辩的规矩比本科生更严格，只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位。至于数学科学博士（доктор математических наук），则是给有一定成就的科学家的学位，要拿博士至少要有一本合格的专著才行。

             如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位，那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授（包括助教授）当！但是这个过程是十分难完成的，俄罗斯有种说法，说院士为什么比一般人长寿，是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程，所以身体一定好的很！

          说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）,应该说柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因：1，如果说使莫斯科大学的数学跻身于世界一流是在鲁金（Н. Н. Лузин）和彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）的带领之下，那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）担任数学力学部主任的时期。2，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）是莫斯科数学学派（Московский математический школа）中承前启后的一代中的领军人物，特别是如盖尔范德（И. М. Гельфанд），阿诺尔德（В. И. Арнольд）等著名数学家都是他的学生。3，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）去世后，他在莫大基本上就是太上校长，莫大的一些改革措施都和他多少有些关系。对于数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家一定很熟悉，但是对于教育家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家就不大清楚了！下面是我从沃尔夫奖得主，日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的文章中摘抄下来的。
柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉的数学特别难，问题多半出在教师身上，当然的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。3，一步一步进行逻辑推理的能力。

         但是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）也指出，仅有这些能力，而不对研究的题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的。柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，在大学里好的教师要做到以下几点：1，讲课高明，特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能力。2，以清楚的解释和广博的知识来吸引学生运动。3，善于因材施教。

         柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为以上三条都是有价值的，特别是3，这是一个好教师必须做到的，那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为除了通常的要求外，有两点要特别强调：1，要把泛函分析这样的重要学科（他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数）当成日常工具一样应用自如。2，要重视实际问题。
柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，学生刚开始搞研究时，首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心，所以教师在帮助学生选课题时，不能光考虑问题的重要性，关键是要看问题是否在学生的能力范围之内，而且需要学生做出最大的努力才能解决问题。

          其实科研训练应当是越早越好，在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功的秘诀之一。莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套公式，套定理的题目。比如，我的那个亲戚，在莫大读书时担任数学分析课的助教（莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师，所以莫大很重视学生的教学能力，一般，研究生都要作助教，本科生毕业前要进行大学数学的教学实习），据他说，主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪，比如说有一次，是叫他让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理，还有一次，叫他给出有界变差函数的定义，然后证明什么全变差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了！总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对以后做科研是有好处的。.

@数学文化：柯尔莫哥洛夫认为，高中生在选择数学作大学专业前应测验对数学的适应性：
(1)代数能力：会对复杂式子作合理的变形，不能仅记定理、公式；
(2)几何直观：对抽象的东西能在头脑中象画画般描绘出来并加以思考；
(3)一步一步作逻辑推理的能力。

除此之外，强烈的兴趣和持久坚持也至关重要。

童鞋们，有无道理？.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2011-8-31 15:43 发表

都很有道理。不过，我当年大学时，对不少高深的数学概念理解不了，看不懂，学不会。所以我觉得理解力是很重要的，为什么没有提到呢？

俺觉得，这可能是国内教育特有的现象。.

引用:

原帖由 jiangying 于 2011-8-31 16:50 发表
我们从小学习的是知识的堆积，各个知识点是隔离的，没有联系在一起，而且没有正确的一套推理体系。到了大学，自然就理解不了那些概念了。

甚是。因为考试是唯一标准，所以，过份注重表面的技术，不能静下心慢慢推敲，找到事务的内在联系。也因为急功近利的心态，总想着尽快让孩子学会这个学会那个，没有给学生留下思考顿悟的时间和空间。具体到家庭教育的实践，在孩子一起玩数学的时候，至少在小学这个时间，不要图量，而是把一个问题往前后左右拓展开来。最终让孩子对数学知识的记忆形成一张网。这样，当他面对新的难题的时候，既能做到东边不亮西边亮，又能举一反三。这种孩子是不是看起来就很聪明呢？他自己也会觉得越来越强大。.

这就对了。反观之，跟那些号称在学龄前学会这个那个的，其实没法比较。因为要看延展的面是否宽，要看怎么学。而且，寥寥数语，我感觉到，这种心态也特别好。已入数学学习之佳境。.

基础知识怎么教？这个问题确实令人困扰。例如：
圆的数学定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用圆规来画圆。
面积的数学定义：面图形的大小，叫做它们的面积（表示二维平面图形的大小）使定义语能真实揭示事物的本质属性，更合乎逻辑，因为“面”是“有长有宽没有高”的一种“形迹”，而这种形迹并不一定要是“平面”的。
速度的数学定义：速度表示物体运动的快慢程度。速度是矢量，有大小和方向，速度的大小也称为“速率”。物理学中提到的“速度”一般指瞬时速度，而通常所说的火车、飞机的速度都是指平均速度。在实际生活中，各种交通工具运动的快慢经常发生变化。

这些解释很复杂，从这些定义开始教，除了背，然后慢慢体会，没别的办法教。

如果真正是带孩子的，注意观察的话，很容易发现，孩子并不是通过这些枯燥乏味、无法理解的定义来掌握这些概念的，圆、面的大小、跑得快还是慢，实际上，孩子们先有体验，知道，但说不出，道不明。只有当他们学习到一定程度具备相当能力，才开始学着如何把体验（很可能是模糊的甚至是错误的）总结成精确的数学语言。有意思的是，人类的历史上，数学也是这么发展而来的。

在美国的学生用书中，可以非常清晰地看到这种教学的思路。例如，教十进制的进位，对一年级孩子来说，没法讲、没法解释，怎么办？就是让孩子们不断地去数各种各样的图形、物体，有意的让数量超过10、20、100。孩子们当然会遇到不够数、没法数的难题，然后，我们任由他们去想出各种办法解决，从这些解决办法中寻找有效的、合理的办法，在教学中予以突出。在这个过程中，孩子们一直都是可操作的，一直都在动脑筋。最终，孩子们的感觉是“我认为”、“我发现”，对数学知识的学习达到一种深刻地、心悦诚服地认同。

jiangying所说：小学的知识点“ 各个知识点是隔离的，没有联系在一起，而且没有正确的一套推理体系”，是指我们的学习方法或者说很多老师教法存在问题。错误的方法把本来是螺旋式上升逐步推进的数学系统，割裂成了孤立的知识点，甚至，可能采用了倒行逆施的方法。这种错误的方法不符合认识事物的基本规律，给孩子们带来的惩罚便是无法通过自我学习，理解和掌握更加高级的数学概念和知识。可能它不会影响到知识的运用，但肯定会影响到创造力。实际上，还有一个更严重的更普及的隐性的惩罚，即奴化。因为几乎所有的知识都是别人教给你的，而不是你独立思考的成果。被“教”的效率很高，不思考也很愉快地说，但长此以往，就像鸦片一样，孩子们被动地习惯性地等待被教，依赖于老师，最终完全丧失独立思考的能力。

所以，学习基本概念，正确的方法是从孩子的体验开始，圆从画圆开始，面积从比较两块平面图形的大小开始，速度从比较谁跑得快开始，一步步引导出他们的计算方法、单位、性质，要学过欧几里得几何，有相当的语言基础后，才开始引导他们去总结基本概念的精确的数学的定义。

不过，这种学习方法，在中国，指现在的爸爸妈妈，运用起来有难度。因为，我们这些爸爸妈妈接受的几乎全部是倒行逆施、快餐式的教学。也就是说，几乎要完全否定我们过去接受教育的方式。这，很难，非常难。就个人的体会，在跟孩子一起学数学前，经常要有意地忘记过去之所学，多跟孩子在一起，通过观察和交流了解孩子，不断尝试着以他们的角度去理解周围的世界，围绕那些基本概念提出或者仔细聆听孩子的问题等等，真正做到从体验出发，引导孩子学习基本概念。

在这个帖子里边有很多实例、对话，都在有意无意地遵循这个思路。读这些实例和对话，不必特别地关注细节，同样的课题，不同的爸爸妈妈、不同的孩子、在不同的场景下，总不相同。以小五生爸爸的经验，以这种方式学习数学，乐趣多多。多尝试，多体会，自然会达到随手拈来皆可研究的境界。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-3 10:14 编辑 ].

不要急，也不要去比较，也不要管别人学到哪里了。曾经有人做过研究，小学到高中的数学，只要高中两年就可以学完。

实际上，如 3681楼 @aochuanhui 遇到的情形，在较早开始数学教育时常常会遇到，而且常常要警觉到适可而止，常常要做的事情是等待。因为数学需要别的东西做底子，如体验，如语文的理解力，如英语带来的眼界等等，这些东西都是需要时间的积累。积累不到，再好的老师也没招的。当然，我不是建议说前面的数学都可以不认真学，只在高中最后两年下功夫，那肯定是不行的。因为积累需要各门学科齐头并进、相互促进。

另外，要对一门学科保持12年的兴趣，绝对不是件容易的事情。父母教了什么数学知识，这不重要。重要的是保持兴趣。只要有兴趣，给点阳光就能灿烂。例如，等到了小学四五年级，给他一本数学书，他能看下去，给他一本数学难题集，他能自己钻研下去，而别的孩子可能只是在应付作业、甚至根本就讨厌数学了。两种情形相较，数学水平孰优孰劣，立分高下。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-4 18:06 编辑 ].

有车吧？坐车时有没注意到里程表啊。问题在于，汽车下面没尺，他怎么知道汽车从这里到那里，走了多长呢？.

这一阵，我们家的在玩遥控直升机。
问：直升机为什么能飞上去？
答：拉加油拉杆。
问：晕。

问题是：里程表是如何计算汽车行驶了多少千米的？不妨猜一猜呢。.

http://images.cersp.com/article/ ... 070823/1641026.html

古代埃及数学  (Ancient Egyptian Mathematics)

    非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。
    目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书，又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。阿梅斯纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。
    古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位值制，而分数还有一套专门的记法。由埃及数系建立起来的算术具有加法特征，其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为1的分数之和)，在阿梅斯纸草书中，有很大一张分数表，把分数表示成单位分数之和。
    古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。
    如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。
    埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。
    至于在建造金字塔和神殿过程中，大量运用数学知识的事实表明，埃及人已积累了许多实用知识，而有待于上升为系统的理论。

印度数学  (Hindu Mathematics)

    印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往来，印度数学和近东，特别是中国的数学便在互相融合，互相促进中前进。另外，印度数学的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。
    《绳法经》属于古代婆罗门教的经典，可能成书于公元前6世纪，是在数学史上有意义的宗教作品，其中讲到拉绳设计祭坛时所体现到的几何法则，并广泛地应用了勾股定理。
    此后约1000年之中，由于缺少可靠的史料，数学的发展所知甚少。
    公元5-12世纪是印度数学的迅速发展时期，其成就在世界数学史上占有重要地位。在这个时期出现了一些著名的学者，如6世纪的阿利耶波多(第一)(ryabhata)，著有《阿利耶波多历数书》；7世纪的婆罗摩笈多(Brahmagupta)，著有《婆罗摩笈多修订体系》(Brahma-sphuta-sidd'hnta)，在这本天文学著作中，包括「算术讲义」和「不定方程讲义」等数学章节；9世纪摩诃毗罗(Mah vira)；12世纪的婆什迦罗(第二)(Bhskara)，著有《天文系统极致》(Siddhnta iromani)，有关数学的重要部份为《丽罗娃提》(Lilvati)和《算法本源》(Vjaganita)等等。
    在印度，整数的十进制值制记数法产生于6世纪以前，用9个数字和表示零的小圆圈，再借助于位值制便可写出任何数字。他们由此建立了算术运算，包括整数和分数的四则运算法则；开平方和开立方的法则等。对于「零」，他们不单是把它看成「一无所有」或空位，还把它当作一个数来参加运算，这是印度算术的一大贡献。
    印度人创造的这套数字和位值记数法在8世纪传入伊斯兰世界，被阿拉伯人采用并改进。13世纪初经斐波纳契的《算盘书》流传到欧洲，逐渐演变成今天广为利用的1，2，3，4，…等等，称为印度－阿拉伯数码。
    印度对代数学做过重大的贡献。他们用符号进行代数运算，并用缩写文字表示未知数。他们承认负数和无理数，对负数的四则运算法则有具体的描述，并意识到具有实解的二次方程有两种形式的根。印度人在不定分析中显示出卓越的能力，他们不满足于对一个不定方程只求任何一个有理解，而致力于求所有可能的整数解。印度人还计算过算术级数和几何级数的和，解决过单利与复利、折扣以及合股之类的商业问题。
    印度人的几何学是凭经验的，他们不追求逻辑上严谨的证明，只注重发展实用的方法，一般与测量相联系，侧重于面积、体积的计算。其贡献远远比不上他们在算术和代数方面的贡献大。在三角学方面，印度人用半弦(即正弦)代替了希腊人的全弦，制作正弦表，还证明了一些简单的三角恒等式等等。他们在三角学所做的研究是十分重要的。

阿拉伯数学  (Arabic Mathematics)

    从九世纪开始，数学发展的中心转向拉伯和中亚细亚。
    自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。
    从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。
    花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的数学家，他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。公元十二世纪后，印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》(《代数学》)系统地讨论了一元二次方程的解法，该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。现代“algebra”(代数学)一词亦源于书名中出现的“al jabr”。
    三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。他们引进了几种新的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔巴塔尼(Al-Battani)、阿卜尔维法(Abu'l-Wefa)、阿尔比鲁尼(Al-Beruni)等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁(Nasir ed-din)完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。
    在近似计算方面，十五世纪的阿尔卡西(Al-kashi)在他的《圆周论》中，叙述了圆周率π的计算方法，并得到精确到小数点后16位的圆周率，从而打破祖冲之保持了一千年的记录。此外，阿尔卡西在小数方面做过重要工作，亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。
    阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。
    总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。欧洲人主要就是通过他们的译着才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。

古希腊数学  (Ancient Greek Mathematics)

    古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴棣制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝(Alexander the Great)征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城(Alexandria)。亚历山大大帝死后(323 B.C.)，他创建的帝国分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世(Ptolemy the First)大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！
    希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。
    一、雅典时期(600 B.C.-300 B.C.)
    这一时期始于泰勒斯(Thales)为首的伊奥尼亚学派(Ionians)，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯(Pythagoras)领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
    公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
    埃利亚学派的芝诺(Zeno)提出四个著名的悖论(二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题)，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。
    哲学家柏拉图(Plato)在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯(Eudoxus)是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德(Aristotle)是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
    二、亚历山大时期(300 B.C.-641 A.D.)
    这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界，分为前后两期。
    亚历山大前期出现了希腊数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大几何学家：欧几里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼乌斯(Appollonius)。
    欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷《几何原本》(Elements)。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。
    阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算。阿基米德在纯数学领域涉及的范围也很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。
    亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼(Eratosthenes)也是这一时期有名望的学者。阿波洛尼乌斯的《圆锥曲线论》(Conic Sections)把前辈所得到的圆锥曲线知识，予以严格的系统化，并做出新的贡献，对17世纪数学的发展有着巨大的影响。
    亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，幸好希腊的文化传统未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅礡的气势。这时期出色的数学家有海伦(Heron)、托勒密(Plolemy)、丢番图(Diophantus)和帕波斯(Pappus)。丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。
    公元415年，女数学家，新柏拉图学派的领袖希帕提娅(Hypatia)遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学有创造力的日子也随之一去不复返了。
    公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼(Justinian)下令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学，数学发展再次受到致命的打击。
    公元641年，阿拉伯人攻占亚历山大里亚城，图书馆再度被焚(第一次是在公元前46年)，希腊数学悠久灿烂的历史，至此终结。
    总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神， 即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。

美索不达米亚的数学  (Mathematics in Mesopotamia)

    亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的两河流域，古称为「美索不达米亚」。公元前十九世纪，这里建立了巴比伦王国，孕育了巴比伦文明。
      考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板，现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。
    算术
    古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法，更值得我们注意。他们引入了以60为基底的位值制(60进制），希腊人、欧洲人直到16世纪亦将这系统运用于数学计算和天文学计算中，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。
    代数
    巴比伦人有丰富的代数知识，许多泥书板中载有一次和二次方程的问题，他们解二次方程的过程与今天的配方法、公式法一致。此外，他们还讨论了某些三次方程和含多个未知量的线性方程组问题。
    在1900 B.C.-1600 B.C.年间的一块泥板上(普林顿322号)，记录了一个数表，经研究发现其中有两组数分别是边长为整数的直角三角形斜边边长和一个直角边边长，由此推出另一个直角边边长，亦即得出不定方程的整数解。
    几何
    巴比伦的几何学与实际测量是有密切的联系。他们已有相似三角形之对应边成比例的知识，会计算简单平面图形的面积和简单立体体积。我们现在把圆周分为360等分，也应归功于古代巴比伦人。巴比伦几何学的主要特征更在于它的代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题引出了二次方程；讨论棱椎的平头截体的体积时出现了三次方程。
    古巴比伦的数学成就在早期文明中达到了极高的水平，但积累的知识仅仅是观察和经验的结果，还缺乏理论上的依据。

罗马和欧洲中世纪的数学  (Mathematics in Roma and medienal Europe)

    罗马人活跃于历史舞台上的时期大约从公元前七世纪至公元五世纪。他们在军事上和政治上曾取得极大成功，在文化方面也颇有建树，但他们的数学却很落后，只有一些粗浅的算术和近似的几何公式。著名的科学书籍有维特鲁维尼斯的《建筑十书》(公元前14年)。书中比较注重处理数学问题，使用了建筑物的平面体和立视图，可以看到画法几何的萌芽。此外，罗马人对历法改革也有一定的贡献。
    从西罗马帝国灭亡(公元476年)到11世纪称为欧洲的黑暗时期。西欧文化处于低潮，基督教的绝对统治严重地破坏了科学发展。这一时期只出现少数几位热心学术的学者和教士：殉道的罗马公民博埃齐(Boethius)，英国的教士学者比德(Bede)和阿尔克温(Alcuin)，著名的法国学者、教士热尔拜尔(Gerbert)──他后来成了教皇西尔维斯特二世(Pope Sylvester II)。
    十二世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特(Adelard)、克雷莫纳的格拉多(Gherardo)、切斯特的罗伯特(Robert)等等。
    意大利的斐波那契(Fibonacci)是中世纪最杰出的数学家。他早年到各地旅游，经比较后确认印度—阿拉伯数码及其记数法在实用上最为优越，回到家乡后写成《算盘书》(Liber abaci，1202)。这部书是讲算术和初等代数的，虽说实质上是独立的研究，但也表现出受花拉子米(Al-knowarizmi)和阿布卡密耳(Abu Kamil)的代数学的影响。这部书对印度─阿拉伯数码的详尽叙述和强列支持，是有助于将这些符号引进欧洲的。斐波那契的另两部著作《实用几何》(Practica geometriae，1220)和《象限仪书》(Liber quadratorum，1225)是专门讨论几何、三角学和不定分析，同样是有独创性的著作。
    十四世纪相对地是数学上的不毛之地，这一时期最大的数学家是法国的N·奥雷斯姆(Oresme)，在他的著作中，首次使用分数指数，还提出用坐标表示点的位置和温度的变化，出现了变量和函数的概念。他的工作影响到文艺复兴后包括笛卡尔在内的学者。
    十二世纪后，欧洲各地出现了许多从原教会学校基础上转变而来的大学。十三世纪上半叶，巴黎、牛津、剑桥、帕多瓦和那不勒斯等地的一些大学里，数学教育开始兴起，这些大学成为后世数学发展的重要基地。

中美洲的数学  (Mathematics in Central America)

    古代美洲文明是世界文明的重要组成部份。公元前1000年左右，中美洲兴起了玛雅文化，公元300-900年间是玛雅文化的全盛时期，之后便渐渐衰弱。对这里数学的了解，主要来自一些残剩的玛雅时代的石刻和几种玛雅文古抄本：德累斯顿抄本、马德里抄本、巴黎抄本等。
   早在公元最初的几个世纪里，玛雅人就创立了以地球围绕太阳旋转一周作为一年的「太阴历」，比古代希腊、罗马人的历法还要精确。与此同时，玛雅人创造了独特的以20进位的位值制计数法。他们用三个符号分别表示1、5和0，别的数字就由这三个符号组合。
    到了20则进位。玛雅人加减法的运算比较简单，与阿拉伯数码的运算相同。对于乘除法运算，已发现的玛雅文献中还没有见到有关的例子。
    玛雅人对形的认识，只能从玛雅古建筑中体会到一些，这些古建筑从外形看都很整齐规范。

文艺复兴时期的数学  (Mathematics in the Renaissance)

    十四至十六世纪在欧洲历史上是从中世纪向近代过渡的时期，史称文艺复兴时期。中世纪束缚人们思想的宗教观、神学和经院哲学逐步被摧毁，出现了复兴古代科学和艺术的文化运动。在自然科学方面，如哥伦布地理上的大发现、哥白尼的日心说、伽利略在数学物理上的创造发明等革命性事件相继发生。
    这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘制在二维的画布上。他们研究绘画的数学理论，建立了早期的数学透视法思想，这些工作成为十八世纪射影几何的起点。其中最著名的代表人物有：意大利的达芬奇(Leonardo da Vinci)、阿尔贝蒂(Leone Battista Alberti)、弗朗西斯卡(Piero della Francesca)、德国的丢勒(Albrecht Durer)等。
    文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度─阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。L·帕奇欧里(Pacioli)的《算术、几何及比例性质之摘要》(Summa de arithmetica，geometrica，proportioni et proportionalita，1494)是一本内容全面的数学书；J·维德曼(Widman)的《商业速算法》(1489)中首次使用符号「+」和「-」表示加法和减法；A·里泽(Riese)于1522年出版的算术书多次再版，有广泛的影响；斯蒂文(Simon Stevin)的《论十进》(1585)系统阐述了十进分数的理论。
      代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》(Ars magna，1545)中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚(Tartaglia)。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari)发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利(Bombelli)在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。
    符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达(Viete)完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了名著《分析方法入门》(In artem analyticam isagoge)，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》(De aequationum recognitione et emendatione，1615)中，改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
    在文艺复兴时期，三角学也获得了较大的发展。德国数学家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的《论各种三角形》(De triangulis omnimodis)是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯(George Joachim Rhaeticus)
    文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。

日本数学  (Mathematics in Japan)

    人类从何时才开始定居于日本列岛，至今仍无定论。公元四世纪中叶，日本建立了第一个统一的国家。在十世纪以前，日本主要吸收外来的文化。中国、朝鲜和印度的文化对日本都有很大的影响，十世纪以后，真正的日本文化才发展起来。日本数学的繁荣则更晚，是十七世纪以后的事。
    日本人把受西方数学影响以前，按自己的特点发展起来的数学叫和算，也算日本传统数学。十七世纪后期至十九世纪中叶是和算的兴盛时期。
    和算在中国古代数学的影响下发展起来。公元六世纪始，中国的历法和数学就直接或间接地(通过朝鲜)传入日本，日本政府亦多次派留学生到中国唐朝学习数学。到八世纪初，日本已仿照隋唐时期的数学教育制度设立算学博士并采用《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《缀术》等中国古算书作为教材，这是中国数学输入日本的第一个时期。
    十三至十七世纪，是中国数学传入日本的第二个时期，《杨辉算法》、《算学启蒙》、《算法统宗》等陆续传入日本，对日本数学的发展有重要的影响。吉田光由的《尘劫记》(1627)使珠算术在日本迅速得到普及，其内容与《算法统宗》极为相似，只是其中许多例题是根据日本的实际情况编写的。这时期还有几本着作是专门介绍和解释《算学启蒙》的。
    十七世纪初，日本数学家开始写出自己的著作，如毛利重能的《割算书》(1622)、今村知商的《竖亥录》(1639)等。到十七世纪末期，通过关孝和等人的工作，逐渐形成了日本数学体系──和算。
    关孝和在日本被尊为「算圣」，十七世纪末到十八世纪初，以他为核心形成一个学派﹝关流﹞，这一学派的主要成就是「点窜术」和「圆理」。「点窜术」是把由中国传入的天文术改为笔算，并改进了算式的记法，是和算特有的笔算代数学。「圆理」可看作是和算特有的数学分析。建部贤弘求得弧长的无穷级数表达式，又称圆理公式。久留岛义太推广了圆理公式，发展了圆理的极数术(极值问题)，并在西方数学家之前发现了欧拉函数和行列式展开定理。关氏学派的第四代大师安岛直圆深入到微积分领域，提出一种求弧长的方法；又将此法推广，形成二重积分，求出了两相交圆柱公共部份的体积。晚期的关氏学派数学家和田宁进一步改进了圆理，使计算弧长、面积、体积等问题更加简化，他使用的方法和现在积分法的原理相近。
    除了关氏学派外，还有一些较小的学派。他们总结了和算中的各种几何问题；深入研究了计算椭圆、球面等面积和体积的公式；探讨了代数方程理论等等。
    十九世纪中叶，日本政府采取了开国政策，西方数学大量传入。明治维新时期，日本政府实行「和算废止，洋算专用」政策，和算迅速衰废(只有珠算沿用至今)，同时开始了近代数学的研究。时至今日，日本已步入世界上数学研究先进国家的行列。.

有下载，VCD画质，在这个帖子里边有讲到《唐老鸭漫游数学奇境》。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2011-9-15 16:12 发表

请问《唐老鸭漫游数学奇境》适合多大的小朋友观看？

一般情况下，初中比较合适。.

欢迎各位新童鞋
恭祝老童鞋新年快乐.

小明手里有13支铅笔，丢了几支，现在还剩6支，问：丢了几支呢？
小朋友写：13-7=6支，结果吃了个大叉。要求订正为：13-6=7支
＝＝》小朋友写的对，符合逻辑。要吹毛求疵的话，可以写成：13 - (7) = 6。

从篮子里拿走3个苹果，又放进4个苹果，现在有8个苹果，问：原来有几个苹果？
我拿这道题目问自家小朋友，伊凝视片刻，说出“7”。让伊列算式，写成“7-3+4=8个”
＝＝》小朋友写的对，符合逻辑。要吹毛求疵的话，可以写成：(7)-3+4=8个。.

“知道这个x在五年级之前是洪水猛兽，不许随便用的”，没这个说法。2－3年级就有专门这种题了，例如，( )-3=4。
怎么解释，能让孩子接受老师的算式，颇费思量。可以试试逆推。也就是把拿苹果的过程先顺着演示一遍，再倒过来演示一遍。.

孩子的思维非常好，非常自然。老师打叉叉，是不对的。可以让孩子请教下老师，问问，我错在哪里啊。
其实，孩子有很好的代数思维，保护它，不要让老师的叉叉给灭了。.

家的小五，哎，时光荏苒，一晃，都长的快跟俺一般高了。家的小五生最近又对《可怕的科学》中的数学部分产生了浓厚的兴趣，一直在看。.

什么问题？.

一年级主要有“+”、“-”和“＝”等。其中“＝”符号，容易被忽视。例如：
5+5=( )+4=(  )+3=( )

Alex 错误的写成了：
5+5=(10)+4=(14)+3=(17)

为什么会出现这样的错误呢？因为 Alex 把“等于”的概念理解成了“结果是”。小学老师建议我跟 Alex 讲讲天枰，最好是玩玩天枰，这样的话，有助于小一生理解“＝”号的数学意义。顺着这个思路做下去，像 hxy007 前面示范的标准方程式解法就容易理解和掌握了：
       设小明丢失了x支铅笔，根据题意得方程：13-x=6
　　等式两边减6得：13-x-6=0
　　等式两边减x得：x=13-6

那种“移位变号”，“开括号变号”的方法只是一种基于道理的技巧。教技巧而没有教道理，同学就很难理解和接受。.