9.P是△ABC所在平面内不同于A、B、C的某一点，若过P且垂直于AP的直线交BC直线于D ,同理定义E,F，则D,E,F共线.


[ 本帖最后由 ITmeansit 于 2010-4-11 17:45 编辑 ].

做不来， 怎样才能认证三点一直线，都不知道用什么方法。

认真地坐在沙发上等待答案。.

ITmeansit, 你这题难度颇大。这是28届国际奥林匹克竞赛预选题。呵呵，果然是名家出的题，好难。窃以为，作为初中数学题，有点过难了。
我也提供看到的一题，也是证明三点共线的。难度比你的这题小些。也是要用梅氏（Menelaus)定理逆定理的。
（因为是回复，不能贴图。不过这个图也很容易画，就请大家自己画了。）
在△ABC，△A’B’C’中，连接AA’，BB’，CC’，使这3条直线交于一点P。求证：AB与A’B’、BC与B’C’、CA与C’A’的交点F，D，E在同一条直线上(这个命题，也叫笛沙格定理。)
这类三点共线的证明，是平面几何中难度较大的一类了。往往是高等级数学竞赛喜欢出的题型。有兴趣的老师和家长可以上网找这方面的资料深入钻研。如果能把这类难度的题搞透，那一般等级的数学竞赛就，哈哈。.

美食定理搞定.

对的。.

这道题用平面几何的方式来做的确不容易，国际奥林匹克数学竞赛题不是那么容易做的，呵呵。
但我脑子里用解析几何来做的想法是如此强烈，以至于我不愿意继续寻求平面几何的解法了。下面我贴出解析几何的方法：
在解析几何里，判断三点共线的条件是每个普通中学的学生都会的，就是AB的斜率=AC的斜率。
先要建立坐标，以B为原点，BC为x轴建立坐标系。不失一般性，可设坐标如下
A(a,b), B(0,0), C(c,0), P(1,d) 于是，
Kpa=(b-d)/(a-1), Kpb=d/1, Kpc=d/(1-c)
立得，Kpd=(1-a)/(b-d), Kpe=-1/d, Kpf=(c-1)/d 垂直关系在解析几何里体现为负倒数，简单伐。呵呵
于是可得PD,PE,PF的方程，（点斜式方程）
与AB，BC，AC的方程联列求出D,E,F三点的坐标。
D点坐标由 y=0, y-d= Kpd (x-1) 两方程解得，为 (   (d-b)d/(1-a)+1,   0 )
E点坐标由 y-d= -1/d*(x-1), y=b/(a-c)(x-c) 解得， 结果大家自行得出，此处略
F点坐标由 y=b/a*x, y-d=(c-1)/d(x-1) 解得， 结果略，大家可自行得出。
得出三点坐标后，就能得出 FD斜率=ED斜率。
于是D,E,F三点共线。.

对于我在三楼贴出的那题，用解析几何的方法，也非常容易。
大家容易发现，平面几何里用纯逻辑的方法很难证明的问题，放在解析几何里来证明，就非常简单直观了。
我在家里跟一位高中数学特级教师交流这个话题，他说很多平面几何题用纯逻辑的方法来证，很不方便，应该用解析几何这个工具来解。他还指出，平面几何题的证明已可以用机器来进行。我国数学大师吴文俊已经在这个领域取得了国际瞩目的成就。
我到网上查了一下，看见如下文字：
http://www.china-pub.com/35081
1977年，著名数学家吴文俊院士在《中国科学》(1977年第6期)发表了“初等几何判定问题与机械化证明”这一具有划时代意义的科学论文，文中提出了初等几何定理机器证明的新方法，首次在计算机上证明了一大类初等几何定理，从而开创了一条从公理化到机械化的新路，在国际上引起了巨大轰动。著名专家Kapur写到“吴的工作使自动推理领域发生了革命性的变化”。吴文俊院士所独创的几何定理机器证明的新方法，在国际上被誉为“吴方法”(本书简称“吴法”)。2001年3月，吴文俊院士因此荣获中国首届国家最高科学技术奖。.
吴文俊院士作为首席科学家先后主持了国家攀登计划“机器证明及其应用”和“数学机械化研究及其应用”两个重大项目，在吴文俊院士的带领下，我国科学家在数学机械化这一研究新领域一直处于世界领先地位，从而确立了以吴文俊院士为首的中国数学机械化学派在国际上的地位。

写到这里，我突然有种感觉，如果我们看到一道平面几何难题，明知解析几何显然有直观的证法时，却非要找出纯逻辑推证，是否有点自己跟自己过不去？（我在6楼第2行，表达的正是这个意思。）
如果真的在国际奥林匹克数学竞赛考场上看到这类难题，在有限的时间内，考生到底该用解析几何来解，还是用纯逻辑推证？
这个问题留给各位家长，奥数教练和有志于攀登高等级数学竞赛的学子们思考。.

哈哈，这道题我当时的做法和你的做法很相似，只是觉得初中版里用解析几何初中生还不是很理解。现在的数学竞赛越来越要求学生提前学习很多内容。.