New Understanding on the Relationship between Language and Numerical Cognition
Liu Dongtai Li Xiaojian
( 1 Counseling & Research Center, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)
( 2 Research Center of Psychological Application, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)
Abstract: Studies of numerical cognition have made significant advance in recent years. This review comments on the two numerical representation systems of different underlying language dependency. The review includes the newly proposed dual core-systems of non-verbal numerical representations, evidence of language dependence of the exact numerical operations and the storage of arithmetic facts, the study series of language influence on the development of numerical ability in early childhood, the new evidence from brain science on the relationship between language and numerical cognition. Proposed issues for further studies include the cognitive mechanism of non-verbal numerical representations, as well as the existence of other numerical representations of language independence.
Key words: Language, Numerical cognition, Numerical representation, Brain mechanism, Children.
数字对分任务(找出两个数的中间数)曾被认为只涉及量的比较,由非词语的数量表征系统进行。Nuerk的研究却发现[29],词语的算术事实如乘法表、奇偶数概念也影响数字对分任务的操作。所有实验参加者(德国大学生)做可倍增的两数的对分任务,比如指出6与18的中间数12(记为6_12_18),都比不可倍增的两数的对分(如7_10_13)反应速度快。因此有理由认为,完成数字对分任务是由量的大小表征和词语的表达双向交互作用实现的,说明由语言形式储存的算术事实参与到计算中去。
上一节介绍的Spelke等人对双语大学生的研究[28]还发现,进行精确计算,凡训练过的题都比未训练过的题反应时短,而做近似估计题,训练题与未训练题反应时无差异。研究认为这是因为精确计算经训练后成为记忆,以语言形式储存,可以直接提取,反应时因而缩短。近似题不论训练过还是未训练过都是进行量的估计比较,较少利用事实记忆,因而反应时无差异。
Lee和Kang报告了一项实验,被试在进行算术运算的同时进行空间属性判断或者语言判断。他们发现,空间属性判断只干扰减法运算而不影响乘法运算;语言判断只干扰乘法运算而不影响减法运算[30]。这种相分离的任务干扰现象说明,乘法事实的记忆提取过程更多与语言判断过程相一致。
2.3 儿童算术能力发展过程中语言起显著作用
Butterworth在算术能力发展的最新综述报告中,概括了0至7岁儿童早期发展的若干个发展里程碑[31]:儿童从2岁开始学习数词序列;3岁能数小的数;3.5岁左右能用实物和数词进行简单的加减运算,并能用基数原则建立数集;5.5岁能理解加法交换律,还能由大到小数数;7岁能从记忆中提取已掌握的算术事实。从Butterworth的总结可见,儿童算术能力的发展在两三岁就借助了语言来学习数字序列,形成最初的数概念,然后借助语言来记忆和提取四则运算事实、扩大数的概念。Butterworth还特别指出,他总结的儿童早期算术能力发展里程碑是建立在欧美国家研究的基础上的,而各种不同语言的数词结构可以加速或减慢算术概念的获得。比如在中文语言环境下,儿童可以较早获得一些算术概念[31]。跨语言的数学认知发展研究确实是探讨语言与数学能力关系的重要途径,相当一批跨文化研究结果发现,数词的结构及其语义、语音对儿童理解数的概念和进行计算有不可忽视的影响。
以中英文数词的差异为例,对两位阿拉伯数字的语言表达,中英文的数词在结构上有不同。中文表示十位上的数同样用数词1至9,表示十位的发音放在前(书写在左),表示个位的发音放在后(书写在右),这与阿拉伯数字的进位制和位值制表示完全一致。英文的数词残留了12进位的构词法,数词11至19与十进位值制结构不匹配。eleven(11)和twelve(12)与前十个数词在结构上相互独立,与十(ten)和一(one),十和二(two)没有构词关系。从13到19,英文把表示个位的发音放在前(书写在左),把表示十位的发音放在后(书写在右)。如“thir-teen”先说出三后说出十,与阿拉伯数字先读十位后读个位的顺序正好相反,因而其数词在语义上缺乏对十进位值制的明确表达。中英文数词结构这种差异对儿童数概念、数位和位值的理解和掌握能够产生内隐性学习差异。
Miller在比较中美儿童数数能力时发现[32],掌握1至10的口头数数和一一对应按物数数,中美学龄前儿童没有差异。这是因为1至10的数词无论中英文都是相互独立的十个发音,都需要儿童一一记住。从两位数开始,中国儿童对10至20的理解和掌握显著好于和快于美国儿童。从美国儿童口头数数常犯的错误是构词错误这一现象,可以看出他们把11、12看作和一位数一样相互独立的数,不容易从英语的构词上获得对多位数的数位和位值的理解。如他们把28至32数作“28、29、20_10、20_11、20_12”(twenty-eight,twenty-nine,twenty-ten,twenty-eleven,twenty-twelve)。究其原因,英语11至19的数词缺乏与阿拉伯数字匹配的十位_个位结构,不利于儿童对构数法的归纳和对数的理解。
Miura对美、法、瑞、日、韩的一年级儿童进行过语言与数概念关系的跨文化研究[33]。瑞典语和英语同属日耳曼语系,数词构词法基本相同。日、韩语的数词从汉语引进,数词的构词法与中文完全相同[34]。Miura的实验用表示单位十的积木和表示单位一的积木表示数字“42”。能够理解42是由四个单位十和两个单位一组成的日、韩一年级儿童人数分别达到72.3%和96.7%,而美、瑞同龄儿童只有8.3%和11.3%,差异非常显著。90.8%的美国被试和88.7%的瑞典被试把42理解为四十二个单位一。
Fuson研究韩国小学二三年级学生的算术水平[35],发现94%的二年级学生能正确进行两位数和三位数加法中的进位,94%和78%能正确进行两位数和三位数减法中的借位,虽然当时他们还未学三位数加减法;三年级学生正确解决三位数加、减法更分别达到98%和93%。韩国小学生加减法计算的正确率如此之高,得益于他们对数位的正确理解。所有二年级被试都能正确认出两位数的第二位是十位,如“52”的“5”表示五个10;所有三年级被试都能正确认识第三位是百位。相比之下,在美国“教育进步全国测评”中,50%的美国三年级学生不能正确使用三位数减法中的借位,超过50%不能正确认识百位数上的“1”表示100。不少二、三年级美国学生在减法借位时把十位上的单位“1”错当作1。
语言还有一个语音要素可以对数学加工过程产生重要影响。数词的语音长短可以影响数字记忆广度,从而可以影响儿童的算术运算能力。根据Baddeley的工作记忆模型,一个人的语音储存大约自动维持2秒左右,词的发音时间越短,被保持和回忆的词越多[36]。有研究测出[37],汉语发音平均每个数词需时406ms,英语需时527ms,两者发音时间差异显著。中国成人数字记忆广度平均为9.2,美国为7.2,两者也有显著差异。Geary和刘范的合作研究显示[38]:5~6岁中国儿童的记忆广度是6.7,同龄美国儿童是4.1,中国儿童正确解答10以内加法的人数大约是同龄美国儿童的3倍。还有研究指出,儿童计算策略的使用和他们的数字记忆广度有一定的关系,记忆广度越短,越有可能利用数手指来帮助计算[39]。
欧美儿童的数学成绩在国际比较中长期落后于东亚儿童已是不争的事实,许多研究将此归结为学校教学时间和社会期望等因素,都忽略心理语言学因素。但是,上述发现指出的数学词语表达对儿童数概念和算术学习的影响,由Fuson1997年进行的教学实验研究结果得到进一步的肯定。在中文里,“五十”是五和十的复合词,容易被理解和反应为五个10。但是在美国通常教学中,低年级儿童很容易把数词“fifty-three”(“53”)与503等同,因为字面上fifty缺乏“五个十”的信息提示,容易被年幼儿童理解为整体50而不是分解为五个10。Fuson按东亚语言表达数位的方式在美国经济落后区域的小学(通常教学质量较低)对一年级新生进行日常数学教学,包括使用“五个十和三个一(five tens and three ones)”的方式表达53(fifty-three)。一学年实验结束时,88%参加实验的学生能够在前述Miura(1993)的积木实验中使用正确方法回答,接近东亚儿童的平均水平,在其它项目上给出正确回答的人数也两倍高出接受美国通常教学方法的同年级学生,并且与六年级的正确人数略同[40]。这一结果不能用学校教学时间和社会期望等因素解释,证实了数词的语言表达确实影响儿童早期能否更快更好地掌握数概念。
2.4 数量能力具有文化和语言的独特性
人类社群的数学语言和数学思维的发展是互为因果的。Geary认为不是每个文化都发展出相同的数学语言和相同的数学思维[3]。中国商殷时代(公元前1400年)就独立发展出十进制和位值制,用类似现今阿拉伯数字的记法来表示数,有记录千、万的数字。到春秋末期,创造了一种简便的计算工具——算筹[41]。最早发现的阿拉伯数字符号(不包括零,也没有数位表示)出现在公元前250年印度的石刻上。最早使用现代阿拉伯数字记法出现在公元825年波斯大数学家Khowarizmi的著作里[34]。然而世界一些与世隔绝的原始部落至今仍用身体的部位来表示数,停留在前语言的具体数量阶段。虽然现代社会由于频繁的交往使得数量的概念和知识能够被全世界共享,但是,许多痕迹仍然可以说明数量能力具有文化和语言的独特性。
习俗时间的语言表示和心理表征各国都不一样。中文无论阴历还是阳历都以数字来排序,即使对外来的星期记法,也用数字排列(星期天除外)。这或许反应了中国文化对数字的敏锐和偏爱。英文与中文不同,用罗马诸神和罗马大帝的名字来命名十二个月,用星体的名字命名一周七日。这种文化和语言的不同带来习俗时间表征的不同,中国人头脑中的习俗时间表征是基数数列,而英美人是名称排列。两者计算习俗时间的方法就会不同。Kelly进行了一项实验[42],要中美儿童和成人回答“星期一的三天之后是哪天?”,“七月之前的五个月是那个月?”这类问题。美国儿童和成人最通常采用的方法是列数周日或月份的名称来求得答案,即使是美国大学生也有90%以上采用此法。中国被试最通常采用计算法,即使二年级学生也有81%用计算法解决月份问题,63%用计算法解决周日问题。中国被试解决此类问题的速度大大超过同龄美国被试,中国四年级学生解决月份问题的速度甚至已略快于美国成年人。
数量能力的语言文化独特性说明了人类的数量能力是在文明的创造与发明中积累起来的,因此个体的生物次级数学能力与语言的运用和发展息息相关。
3 语言与数量认知密切关联的脑神经证据
Dehaene等人在功能磁共振脑成像(fMRI)和事件相关电位(ERP)的实验发现,简单算术会激活两个不同的脑神经网络:近似量的判断更多地激活负责空间表象的大脑双侧顶内沟(Intraparietal Sulcus)及其周边脑区,精确量的判断则更多激活负责言语的左侧额下回(Left inferior frontal gyrus)等词语加工区[27]。这些发现为精确数量加工与语言使用的密切关联提供了脑神经证据。
对于精确数量与近似数量加工的大脑基础,Lemer等人考察了计算不能(Acalculia)病人BRI和LEC[43]。LEC的非词语数量能力因左内侧顶叶萎缩而受损,但大脑的语言区相对完好。她不能快速认出两个或三个分离物体的个数,也不能区别数量比例为1:2的两个较大的点集(如36和72)。BRI的左侧额叶和颞叶萎缩,左侧海马回萎缩,造成了失语和工作记忆受损,但顶叶完好。她与LEC相反,能较快认出两三个分离物体的个数,也能区别大数量的点集,说明她具有基本正常的非词语数量能力。但是,BRI和LEC都只能缓慢地数较大的数量(5至8)并且错误较多[43]。这说明了精确数量能力会同时受语言和非词语数量能力影响。
对于四则运算,Lemer等人发现,BRI的乘法和除法的错误率高达77.8%和94.4%,但是她的加法和减法的错误率却相对低得多,只有9.3%和16.7%。LEC进行四则运算的错误率显著低于失语症病人BRI,乘法和除法的错误率为5.6%和33.3%,加法和减法约1%和18.5%。分析认为,乘法运算更多地依靠对记忆中的乘法表的提取,除法是乘法的逆运算,也依靠乘法表进行运算。这些算术事实的提取以言语进行。BRI的语言区受损,乘除法知识难以提取,运算便严重受阻。但加减法对记忆的提取相对较少,更多的是对数量进行操作性运算,它主要由大脑的顶内沟区域负责,因此BRI能够相对顺利地进行。LEC的非词语数量能力受损,语言区相对完好,算术事实基本能保留和使用,所以乘除运算显著优于失语的BRI。LEC的减法和除法表现差于自己的加法和乘法表现,这是由于逆运算需要对数量进行更多操作性运算,恰好与她顶叶受损有关。
Dehaene概括了有关的研究[44],认为顶叶有3个神经回路与数量加工有关:顶内沟水平节(Horizontal segment of the intraparietal sulcus,简写HIPS),左侧角回(Left angular gyrus,AG)和后顶上小叶(Posterior superior parietal lobule,PSPL)。
首先,大脑双侧顶内沟是数量加工主要激活的区域。当任务涉及数量比较(如对分数字、比较数字大小),估计(如估计两位数加减法的结果),数量归类(如区别数量与方位),甚至在心算中提取一个数字的数量表征等等,这个区域是主要激活的大脑部位。Dehaene等人推测,数量的非语言表征可以类比成一个空间图(Spatial map)或者心理数轴(Mental number line),呈现在双侧顶内沟,这是人类数量直觉的基础[44]。
其次,脑成像显示,精确计算比近似计算更多激活左侧角回。Dehaene[27]和Spelke[28]根据双语大学生实验的结果认为,进行两到三位数计算和用不熟悉的进位制计算时要依赖语言。基数和分数的表征是语言特定的(language-specific)。时间和空间信息编码以第一语言为优。多位数乘法任务比数字匹配任务,10以内加法比10以上加法,都更多激活左侧角回。由于乘法表和10以内加法已成为熟练计算的人头脑中的算术事实,由此推测,左侧角回是算术事实以语言形式储存的地方,是语言参与数量加工的区域。
再次,数字加工也会激活后顶上小叶。进行数字比较、求近似值、两位数运算、数数等任务都会激活这个区域。这个区域并不是数字加工的特定区域,它在涉及视觉-空间的任务中起中心作用。上述计算任务都含有注意指向的成分,可以推测,在“心理数轴”上作空间移动与在大小数量之间作注意转移是相对应的。
来自不同国家、具有不同教育背景、使用不同语言、取得不同数学成绩的被试都会在数字加工时系统地激活顶叶的这三个部位。Dehaene认为这个显著的解剖学事实在一定程度上与算术是文化的产物这一明显的事实相一致。算术普遍地由数词或数学符号表示,空间刺激的输入也常常以文字信息的形式,计算常常不能脱离语言进行。在数量加工过程中,数量的比较、分类、数量表征的提取以及近似类比主要涉及顶内沟;精确数量加工主要涉及左侧角回;注意的指向、控制、空间转移主要涉及后顶上小叶;它们连成一个数字加工的网络[44]。
4 语言在数量认知模型中的角色
数量认知模型力图把实验和观察中得到的局部认识加以汇总,形成对数量认知机理的整体认识并使之具有预测能力。其中,数字加工模型的对象是已经符号化的数字系统,常与阿拉伯数字的编码有关。数量化模型反映我们对客体的数量特征所作的感知、辨认和数量的符号化过程。语言在这些数量认知模型中担当什么角色?
4.1 数字加工模型
数字加工反映我们运用符号化的数概念进行量的运算。数字符号化系统就是一种语言。问题是如何将非词语的数量能力与语言使用联系起来,将各个方面协调为一个整体的模型。近年来出现的较受关注的数字加工模型有以下3个。
McCloskey等人于1992年从认知心理学的视角提出了“抽象编码模型”(Abstract-code model)。它由3个数量认知系统构成:数字编码输入的理解系统,计算过程系统和反应发生系统。模型的中心关键是通过一个单一形式的语义编码来加工数量,实现3个系统的联系。数量理解系统把数量的不同表面形式转换成一个共同的抽象代码,输入到计算过程;计算系统包括基本数字事实和规则的记忆,数字事实假定以抽象形式储存;反应发生系统再把抽象数量编码还原成具体的阿拉伯数字或口语和书面的词语形式[45]。
Dehaene和Cohen于1995年以神经心理学的研究为基础,提出了“三联编码模型”(Triple-code model)[44]。他们强调数量的表征而不是表面功能,提出数字加工有3个不同的表征系统:一个是类比量表征(Analog magnitude representation),支持非词语的数量分析,提供近似、大小和距离等类比判断;一个是视觉-阿拉伯数字表示(Visual-Arabic number form),支持阿拉伯数字的视觉输入和输出;还有一个是听觉-词语编码系统(Auditory-verbal code system),支持对听、说信息的输入和输出,以词语形式提供简单加法和乘法事实。这3种形式的编码可以互相转换,但各自都能将表面形式(Surface form)转换为数量表征,因此运算和判断不依赖表面形式。模型假定算术事实是通过语言来表征和储存的,词语在精确计算中起关键作用,而量的近似表征在简单计算中起关键作用[44]。
最近,Campbell从行为实验的大量观察出发,吸取三联编码模型的一些要素,提出“复合编码模型”(Encoding-complex model)[45]。她认为实际的数字加工过程会激起一个联系丰富的网络,各种编码相互作用,包括相互干扰(比如9×6=36)。该模型根据算术和词语表示之间的密切关系,采纳以语言形式存储算术事实的观点。该模型包含视觉编码-数量编码-词语编码转换,其中心是数量编码(Magnitude code)[45]。复合编码模型比三联编码模型更强调各种算术知识和技能的相互影响,强调词语的记忆编码和语言对算术事实的提取作用。
4.2 数量化模型
对于非词语数量能力,例如在婴幼儿、在缺乏数词的社会群体里,精确数量表征与近似类比表征似乎是在小数量(3、4以内)与大数量(4以上)之间被区分开来的[4]。对于一般受过教育的成人,这两个数量表征的关系还是这样吗?关于数量化(Quantification,也称为Enumeration)的研究一直在探讨这个问题。
人类如何对具体物体作数量化反应,即如何辨认分离客体的个数,在实验方法进入心理学初期就有人研究了(见Mandler等人的回顾[46])。早期的数量化研究与识别广度(Span of Apprehension)的研究结合在一起。Kaufman等人在1949年的实验中给被试呈现含有1至210个点的图,要求迅速准确地说出点的个数。根据反应时和准确率的特征,他们首次把数量化区分为两类不同的机制:在1至6的范围里,人们可以不经过数数(Counting)而迅速准确地辨认出分离客体的个数,并把这个过程命名为Subitizing,意为“顿然识别”(顿识)。在大于6的范围里,人们也可以不经过数数而迅速地近似估计(Estimating)客体的个数。对于数数,其操作性定义是“从1开始,为每个客体配给数字序列中的一个数”[47]。顿识和估计不同于数数,它们只提供一个数字作为数量化的快速反应结果,而数数是一个较慢的序列过程,它对每个客体作出一次反应,最后累计得到总数,结果精确。只要时间允许和目标稳定,数数就可以进行。可以说,Kaufman等人给出了第一个数量化模型。如果我们把顿识和估计概括为“感数”(相对于数数),本文称Kaufman等人的模型为(感数-数数)双机制数量化模型。
自从Kaufman等人的研究,顿识、估计和数数就成为数量化研究的明确对象,其中一个焦点就是三者的关系。目前较多研究趋向于认为,在刺激呈现短暂或者要求快速判断的实验条件下,数量化在以下三个数量段上各呈现一种机制:顿识在数量1至3、4内进行,高度准确;数数在数量5至8、9内进行,精确度随数量增多而下降;估计在数量9以上进行,误差服从韦伯律。本文称此为三机制数量化模型。也有少数研究持不同观点,认为数量化从小数量到大数量用的是同一个机制,例如,顿识只是快速数数。本文称此为单机制数量化模型。顿识、估计和数数的详尽关系,可参见Trick[22],Mandler[46]和Pirzza[48]等人的回顾。
数量化模型中与语言关系最密切的部分是数数。数数的基础是什么?Dehaene等人考察了顶叶受损导致不能在数数中进行序列加工的病人[49]。这些病人能够迅速准确说出图中2、3个点的个数,但是,当图中的点多于2、3个时,他们的错误率超过90%,例如会重复数那些已经数过的点。这说明顿识是并行加工,数数是序列加工的。Sathian等人的脑成像研究支持这一看法,并进一步发现,顿识在视觉的前注意(Pre-attentive)阶段发生,数数则与视觉注意的转移相关联[50]。前面提及的因失语症导致计算不能的病人BRI,因顶叶保留完好,能作顿识,也能估计,说明她具有基本正常的非词语数量能力。但是,她只能缓慢地数较大的数量(5至8)并且错误较多[43],说明是她的失语影响了数数。而病人LEC的非词语数量能力因顶叶萎缩而受损,语言区相对完好,她也不能正常数数。这说明数数不能缺少非词语数量能力和语言能力两者中的任何一个。Pirzza等人的脑成像研究证实了这点:非词语数量表征关联的脑区和语言加工关联的脑区在数数时是协同激活的[51]。他们的研究还发现,顿识与数数可以有共同激活的枕叶-顶叶网络,包括左侧顶内沟。数数比起顿识在枕叶-顶叶网络有更广的激活并会随着客体数量增加而扩展,但是顿识并没有比数数激活更多的脑区。由于顶内沟是非词语数量加工的关联区,枕叶-顶叶网络则跟视觉模式辨认关联,顿识和数数共同激活这个网络说明了快速数数中采用了分组策略,对各组作顿识并累计总数[48]。
概括上述:感数(顿识和估计)是在前注意并行加工的基础上进行的非词语数量认知;数数则要在注意下进行,离不开语言(数字或任何其它符号化系统)。数数是语言化的数量表征的序列加工。
5 争论和待研究的问题
即使有新的发现和认识,对于人类数量认知是否与语言相互独立,仍有未解的争论。数量认知与语言相互独立的主要坚持者是Gelman、Gallistal等人[52~54]。
数量的知觉若没有符号化系统(乃至语言)表示,是否就只能停留在近似估计或者有限几个量的辨认上?如果这的确反映了目前为止的主要研究结果,是否就能说数量认知发展依赖语言,甚至,数概念形成是由语言决定的?Gelman对这些都持否定观点[52],她对新发现的事实有不同的解读,并指出一些她掌握的但没有被广泛注意的研究结果。她的主要观点是:数学能力独立于语言。她不同意以Carey为代表的“自然数概念源于数词”的观点,该观点认为,3以内的自然数是在“客体档案”(见1.2)与数词“一”、“二”、“三”对应的意义上获得,但对4以上的自然数,则靠顺序读数词获得。Gelman指出,儿童在学会较大的自然数之前已能理解一一对应,能理解当一个集合的量被改变(增加或减少客体)后会产生的结果,并理解有另一个数对应这种改变。Gelman还指出,缺乏数词的一些非洲部落人一旦需要并接触数字(如数钱),其获得自然数概念的速度比儿童学数要快得多,认为他们在接触数词之前应当已经在一定程度上理解数量的关系。Gelman也举出例子,说明大脑损伤的失语症病人其数学能力未必受严重影响[52]。
可以看到,一个隐含的争论点是:生物的初始数学能力除了包含两个已知的数量系统——近似表征系统和精确表征系统,是否还存在其它不依赖语言的理解数量的系统?这些未知系统如何帮助获得大于3的精确自然数概念?在前语言条件下,还有哪些认知机制支持数量的理解?这些的确有待进一步研究。
此外,前面介绍过,6个月的婴儿能精确辩认2和3,也能近似区分4和8的不同,但是就不能区分2和4的不同。目前还没有研究报告说明这个现象。我们提供一个可能的解释:对婴儿来说,2和4跨越了精确和近似两个系统,他们还无法同时采用和协调两种加工方式,他们的工作记忆、注意协调能力都可能没有达到应有的成熟。是否如此,仍待研究。
最后应当说明:本文涉及的数量认知只是数学认知的一个部分。国际上许多文献虽然使用数字、数量、甚至数学等一般说法,但他们目前更多还是反映对自然数、小学算术等最初等的数量认知。数学思维有更广阔的领域,如几何、函数、概率,也反映更抽象的概念和运算,如代数、集合、数理逻辑。那些方面的研究相对较少,原因是初等领域还有许多不清楚和值得研究的问题,如本文概括的语言与数量认知的关系。复杂的问题就自然被留到今后了。
【参考文献】
[1] Hauser M D, Carey S. Hauser L. Spontaneous number representation in semi-free-ranging rhesus monkeys. The Royal society, Proc. R. Soc. Lond. B, 2000, 267: 829~833
[2] Piazza M, Dehaene S. From number neurons to mental arithmetic: The cognitive neural science of number sense, In: Gazzaniga M S, Ledoux J E, Bizzi E, et al. The Cognitive Neruoscience. 3rd Ed. MA Cambridge: MIT Press, 2004. 865~875
[3] Geary D C. Biology, culture, and cross-national differences in mathematical ability. In: Robert J. Sternberg, Talia Ben-Zeev ed. The nature of mathematical thinking. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc, 1996. 145~171
[4] Feigenson L, Dehaene S, Spelke E. Core systems of number. Trends in Cognitive Science, 2004, 8(7): 307~314
[5] Dehaene S, Dehaene-Lambertz G, Cohen L. Abstract representations of numbers in animal and human brain. Trends in Neuroscience, 1998, 21(8): 355~361
[6] Nieder A, Miller E. Coding of cognitive magnitude: Compressed scaling of numerical information in the primate prefrontal cortex. Neuron, 2003, 37(9): 149~157
[7] Xu F. Numerosity discrimination in infants: Evidence for two systems of representations. Cognition, 2003, 89: B15~B25
[8] Xu F, Spelke E S. Large number discrimination in 6-month-old infants. Cognition, 2000, 74: B1~B11
[9] Xu F, Spelke E S, Goddard S. Number sense in human infants. Developmental Science, 2005, 8(1): 88~101
[10] Barth H, Kanwisher N, Spelke E. The construction of large number representations in adults. Cognition, 2003, 86: 201~221
[11] Pica P, Lemer C, Izard V, Dehaene S. Exact and approximate arithmetic in an Amazonian indigene group. Science, 2004, 306(15): 499~503
[12] Lipton J S, Spelke E S. Origins of number sense: large-number discrimination in human infants. Psychological Science, 2003, 14(5): 396~401
[13] Wood J N, Spelke E S. Infants’ enumeration of actions: Numerical discrimination and its signature limits. Developmental Science, 2005, 8(2): 173~181
[14] Feigenson L, Carey S, Hauser M. The representations underlying infants’ choice of more: Object files versus analog magnitudes. Psychological Science, 2002, 13(2): 150~156
[15] Neider A, Freedman D J, Miller E K. Representation of the quantity of visual items in the primate prefrontal cortex. Science, 2002, 297(6): 1708~1711
[16] Sawamura H, Shima K, Tanji J. Numerical representation for action in the parietal cortex of the monkey. Nature, 2002, 415(21): 918~922
[17] Antell S E, Keating D P. Perception of numerical invariance in neonates. Child Development, 1983, 54: 695~701
[18] Wynn K. Addition and subtraction by human infants. Nature, 1992, 358(27): 749~750
[19] Feiganson L, Carey S. Tracking individuals via object-files: Evidence from infants’ manual search. Developmental Science, 2003, 6(5): 568~584
[20] Starkey P, Spelke E S, Gelman R. Numerical abstraction by human infants. Cognition, 1990, 36: 97~128
[21] Wynn K. Infants’ Individuation and enumeration of actions. Psychological Science, 1996, 7(3): 164~169
[22] Trick L M, Pylyshyn Z W. Why are small and large numbers enumerated differently? A limited-capacity preattentive stage in vision. Psychological Review, 1994, 101(1): 80~102
[23] Cowan N. The magical number 4 in short-term memory: A reconsideration of mental storage capacity. Behavioral and Brain Sciences, 2000, 24: 87~185
[24] Vogel E K, Woodman G F, Luck S J. Storage of features, conjunctions, and objects in visual working memory. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 2001, 27(1): 92~114
[25] Cole M, Gay J, Glick J. A cross-cultural investigation of information processing. International Journal of Psychology, 1968, 3(2): 93~102
[26] Gordon P. Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science, 2004, 306(15): 496~499
[27] Dehaene S, Spelke E, Pinel P, Stanescu R, Tsivkin S. Sources of mathematical thinking: Behavioral and brain-imaging evidence. Science, 1999, 284(7): 970~974
[28] Spelke E S, Tsivkin S. Language and number: A bilingual training study. Cognition, 2001, 78: 45~88
[29] Nuerk H-C, Geppert B E, Herten M, Willmes K. On the impact of different number representations in the number bisection task. Cortex, 2002, 38: 691~715
[30] Lee K M, Kang S Y. Arithmetic operation and working memory: Differential suppression in dual tasks. Cognition, 2002, 83(3): B63~B68
[31] Butterworth B. The development of arithmetical abilities. Journal of Child Psychology, 2005, 46(1): 3~18
[32] Miller K F, Smith C M, Zhu J, Zhang H. Preschool origins of cross-national differences in mathematical competence: The role of number-naming systems. Psychological Science, 1995, 6(1): 56~60
[33] Miura I T, Okamoto Y, Kim C C, Steere M, Fayol M. First graders’ cognitive representation of number and understanding of place value: Cross-national comparisons-France, Japan, Korea, Sweden, and the United States. Journal of Educational Psychology, 1993, 85(1): 24~30
[34] Gullberg J. Mathematics: From the birth of numbers. New York: W. W. Norton & Company, Inc, 1997. 31~68
[35] Fuson K C, Kwon Y. Korean children’s understandings of multidigit addition and subtraction. Child Development, 1992, 63: 491~506
[36] Baddeley A D. Working memory: Looking back and looking forward. Nature Reviews Neuroscience, 2003, 4(10): 829~839
[37] Stigler J W, Lee S-Y, Stevenson H W. Digit memory in Chinese and English: Evidences for a temporally limited store. Cognition, 1986, 23: 1~20
[38] Geary D C, Bow-Thomas C C, Liu F, Siegler R S. Even before formal instruction, Chinese children outperform American children in mental addition. Cognitive Development, 1993, 8: 517~529
[39] Geary D C, Hoard M K, Byrd-Craven J, DeSoto M C. Strategy choices in simple and complex addition: contributions of working memory and counting knowledge for children with mathematical disability. Journal of Experimental Child Psychology, 2004, 88: 121~151
[40] Fuson K C, Smith S T, Lo Cicero A M. Supporting Latino first graders' ten-structured thinking in urban classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 1997, 28(6): 738~767
[41] 蒋述亮. 中国在数学上的贡献. 太原: 山西人民出版社, 1984. 1~54
[42] Kelly M K, Miller K F, Fang G, Feng G. When days are numbered: calendar structure and the development of calendar processing in English and Chinese. Journal of Experimental Child Psychology, 1999, 73: 289~314
[43] Lemer C, Dehaene S, Spelke E, Cohen L. Approximate quantities and exact number words: Dissociable systems. Neuropsychologia, 2003, 41: 1942~1958
[44] Dehaene S, Piazza M, Pinel P, Cohen L. Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 2003, 20: 487~506
[45] Campbell J I D, Epp L. An encoding-complex approach to numerical cognition in Chinese-English bilinguals. Canadian Journal of Experimental Psychology, 2004, 58(4): 229~244
[46] Mandler, G., Shebo, B. J. Subitizing: An analysis of its component processes. Journal of Experimental Psychology: General, 1982, 111(1): 1~22
[47] Kaufman E L, Lord M W, Reese T, Volkmann J. The discrimination of visual number. American Journal of Psychology, 1949, 62: 498~525
[48] Pirzza M, Mechelli A, Butterworth B, Price C J. Are Subitizing and Counting Implemented as Separate or Functionally Overlapping Processes? NeuroImage, 2002, 15: 435~446
[49] Dehaene S, Cohen L. Dissociable mechanisms of subitizing and counting: Neuropsychological evidence from simultagnosic patients. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 1994, 29(5): 958~975
[50] Sathian K, Simon T J, Peterson S, Patel G A, Hoffman J M, Grafton S T. Neural evidence linking visual object enumeration and attention. Journal of Cognitive Neuroscience, 1999, 11(1): 36~51
[51] Piazza M, Giacomini E, Le Bihan D, Dehaene S. Single-trial classification of parallel preattentive and serial attentive processes using functional magnetic resonance imaging. The Royal Society, Proc. R. Soc. Lond. B, 2003, 270: 1237~1245
[52] Gelman R, Butterworth B. Number and language: how are they related? Trends in Cognitive Sciences, 2005, 9(1): 6~10
[53] Gallistal C R, Gelman R. Mathematical cognition, In: Holyoak K, Morrison R. The Cambridge handbook of thinking and reasoning. British: Cambridge University Press, 2005. 559~588
[54] Gallistal C R, Gelman R. Non-verbal numerical cognition: from reals to integers. Trends in Cognitive Sciences, 2000, 4(2): 59~65.
Wynn用背离期望法(Violation of expectation)让5个月婴儿看见一个玩具被遮挡后再添加一个玩具的过程,发现5个月婴儿对最后拿开遮挡时只出现一个玩具的背离期望结果(1+1=“1”)会增加注视时间。类似地,对两个玩具被拿开一个后仍出现两个玩具的背离期望结果(2-1=“2”)同样会增加注视时间。Wynn由此判断婴儿有个数增加一和减少一的识别[18]。